차 시음 차 실험의 힘

유명한 Fisher의 실험 에서 관측 가능한 컵 는 두 종류의 컵 와 있습니다. test 의 크기가 주어지면 귀무 가설 (숙녀가 임의로 추측)을 기각하기 위해 임계 영역을 계산하는 것이 일반적으로 흥미 롭습니다 . 이것은 초기 하 분포를 사용하여 쉽게 수행됩니다. 같은 방법으로 임계 영역이 주어진 테스트의 크기를 계산할 수 있습니다.$k$$A$$B$$\alpha$

또 다른 질문은 대안 가설이 주어지면 검정의 검정력을 계산하는 방법입니까? 예를 들어 여성이 단일 컵에서 확률로 정확하게 추측 할 수 있다고 가정합니다 ( ). 총 컵 수는 이고 한 종류의 총 컵 수는 라고 가정하면 테스트의 힘은 무엇입니까 ? (안타깝게도) 여자는 알고 있습니다.$p=90\%$$P(\text{guess} A|\text{true} A)=P(\text{guess } B|\text{true } B)=0.9$$N=8$$n=N/2=4$$n$

다른 말로 하면, 레이디가 한 종류의 컵 이 있다는 것을 알고 있다면 (대체 가설 하에서 올바른 컵 수)의 분포는 무엇 입니까?$k=$$n$

대안에서 숙녀가되어 있지 무작위로 추측하지만, "무작위로 추측하지 않는 것은"서로 다른 상황의 무한대를 다룹니다. 그녀는 항상 완벽하게 추측 할 수도 있고 무작위 추측보다 아주 약간만 더 잘할 수도 있습니다. 일반적으로 단일 변수 "스케일"도 무작위로 작동하지 않습니다 (따라서 우리에게는 힘도 없습니다) 그녀가 제공 할 수있는 비 랜덤 응답의 종류를 제한하지 않는 한 곡선).

그래서 전력을 계산하기 위해, 우리는 매우 구체적이어야 하는 방법 이 아닌 임의 (그리고 얼마나 비 무작위가 특정 방식이다)이다.

예를 들어, 그녀는 우유가 먼저 첨가 된 것처럼 각각의 컵 맛이 얼마나 많은지에 대한 감각을 얻는다고 가정 할 수 있습니다. $(-\infty,\infty)$ 우유를 처음 넣을 때 다른 (높은) 평균을가집니다. 예를 들어 우유가 정상 또는 로고라고 가정 할 수 있습니다. $\mu_0$ 그리고 분산 $\sigma^2=1/\omega^2$ ($\omega^2$ 우유를 마지막에 넣을 때 "정밀도"라고합니다. $\mu_1$ 그리고 분산 $\sigma^2$ 우유가 먼저 첨가 될 때 (실제로는 더 단순하지만 더 제한적인 추정이 설정 될 수 있습니다. $\mu_1=-\mu_0=1$모든 것이 이제는 하나의 변수, 정밀도의 함수입니다). 따라서 이러한 매개 변수의 주어진 값에 대해, 우리는 그녀가 8 개의 컵을 모두 올릴 확률을 계산할 수있었습니다 (그녀가 경험하는 가장 작은 "우유 우선 순위"값이 4 개의 우유-초 컵과 연관되어 있음). 정확한 계산이 너무 어려우면 원하는 정확도로 시뮬레이션 할 수 있습니다. [비 랜덤 성이 단 하나의 변수의 함수 인 것으로 추정되는 경우, 우리는 매개 변수의 각 값에 대한 힘의 값인 전력 곡선을 갖게됩니다.]

이는 매개 변수를 지정하고 검정력에 대한 값을 얻을 수있는 "무작위보다 더 나은"성능을 수행하는 방법에 대한 특정 종류의 모델입니다.

물론 우리는 이것보다 많은 다른 형태의 비 랜덤 성을 가정 할 수 있습니다.

대립 가설 하에서 정확한 수의 추측 분포 는 비 중앙 하이퍼 지오메트리 분포를 따릅니다. 이 확률은 승산 비, 즉 여성이 "차를 먼저"추측 할 확률이 얼마나 높을까요? 사실 차는 실제로 우유가 먼저 첨가 될 때 (또는 다른 방법으로)에 비해 실제로 먼저 첨가되었습니다. 승산 비가 1이면 중앙 초기 하 분포를 얻습니다.

이것이 작동하는지 봅시다. (비 중앙 적) 초 지오메트리 분포의 밀도를 계산하는 MCMCpack기능이 있는 패키지를 사용하여 설명 목적으로 R을 사용합니다 dnoncenhypergeom(). 이 인수가 x추측의 정확한 번호 (주의 : 차 정말 처음 추가 될 때이 두 조건 중 하나에서 추측의 정확한 수는, 예를 들면,) 인수를 n1, n2그리고 m1네 개의 여백의 세 가지에 대한, 그리고 psi에 대한 실제 배당률. x실제 승산 비가 1 일 때 0에서 4까지 의 밀도 (모든 마진이 4 인 경우)를 계산해 봅시다 .

install.packages("MCMCpack")
library(MCMCpack)
sapply(0:4, function(x) dnoncenhypergeom(x, n1=4, n2=4, m1=4, psi=1))

결과는 다음과 같습니다.

[1] 0.01428571 0.22857143 0.51428571 0.22857143 0.01428571

따라서 여성이 귀무 가설 하에서 8 번의 정확한 추측 (즉, 차가 먼저 첨가 된 곳에서 4 개의 컵을 모두 정확하게 추측하므로 우유가 먼저 첨가 된 곳에서 4 개의 컵을 모두 정확하게 추측 할 가능성)이 1.43 % 일 확률이 있습니다. 이것은 실제로 Fisher가 귀무 가설을 기각하기에 충분하다고 생각한 증거의 양입니다.

질문에 지정된 확률을 사용하여 승산 비를 계산할 수 있습니다. $(.90/(1-.90)) / (.10/(1-.10)) = 81$ (즉, $\text{odds}(\text{guess}A|\text{true}A) / \text{odds}(\text{guess}A|\text{true}B)$). 숙녀가 8 컵을 모두 정확하게 추측 할 가능성은 무엇입니까?

dnoncenhypergeom(4, n1=4, n2=4, m1=4, psi=81)

결과는 다음과 같습니다.

[1] 0.8312221

전력은 약 83 %입니다.