중앙값을 계산하는 공식이 있습니까?

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평균 공식에 해당하는 것이 있습니까?

m e a n = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} X_{i}

$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$

중앙값?

median definition

— 크레이그
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당신이 정의하는 경우 $O_1, O_2, \ldots, O_N$ 원래 데이터의 정렬 된 버전이하는 $X_1, X_2, \ldots, X_N$ , 그 중간은 다음과 같이 정의된다 :

M e d i a n ({O_{1}, O_{2}, \dots, O_{N}}) = {\begin{cases} O_{(N + 1) / 2} & i f N i s o d d \\ (O_{N / 2} + O_{N / 2 + 1}) / 2 & o t h e r w i s e \end{cases}

$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$

데이터를 정렬하지 않고 기하 중앙값 의 정의를 사용하여 1 차원의 중앙값을 정의 할 수 있습니다 .

M e d i a n ({X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N}}) = \arg min_{y} \sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - y |

$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$

이것은 짝수의 포인트가있을 때 반드시 고유 한 중앙값을 정의하지는 않습니다. 예를 들어 임의의 숫자 는 목표를 최적화합니다 . $y\in[3, 4]$ $X = \{2, 3, 4, 5\}$

— Josliber
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의 형식 조차도 유일한 답은 아니며 단지 사용 된 규칙입니다. 사이의 값 와 합리적으로 "중간"라고 할 수

N

$N$

O_{N / 2}

$O_{N/2}$

O_{N / 2 + 1}

$O_{N/2+1}$

— probabilityislogic

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@probabilityislogic 확실합니다. 기하 중앙값 정의를 추가했는데, 반드시 고유하지는 않습니다 .

N

$N$

— josliber

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평균을 표현하는 다른 방법은 "최소 제곱"추정치입니다.

\sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - m)^{2}

$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$

을 평균으로 선택하면 제곱 오차 합계의 최소값이 제공됩니다. $m$

이제 중앙값을 "최소 절대 편차"추정값으로 표현할 수 있습니다.

\sum_{i = 1}^{N} | X_{i} - m |

$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$

을 중앙값으로 선택하면 절대 오차의 합계 중 가장 작은 값이 제공됩니다. $m$

— 확률 론적
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중앙값은 반 Quantile에 해당하는 값입니다. 즉, 값의 절반이 더 높고 절반이 더 낮습니다 (평등 한 경우를 무시하거나 세트가 짝수 인 경우 ...). 데이터 세트 의 pdf 가 알려져 있으면, 누적 분포는 쉽게 평가된다. 주목 이 기능을하고 $p_X$ $X_1 \cdot X_n$ $P_X$

m e d i a n = P_{X}^{- 1} (\frac{1}{2})

$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$

히스토그램 평준화 를 위해이 검토 논문 에서 사용 된 이 방법의 각도에 대한 사례를 예로 들어 보겠습니다 . 왼쪽 하단 패널은 자연 이미지 세트에서 pdf 각도를 보여줍니다 . 는 누적 분포이고 중앙값은 값에 해당하는 값이며 ,이 경우 대략 입니다. $p(\theta)$ $P(\theta)$ $\theta$ $1/2$ $0$

— 메 두즈
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