중앙 한계 정리의 역동적 인 시스템 관점?

(원래 MSE에 게시 됨 )

나는 고전적인 중앙 한계 정리에 대한 많은 휴리스틱 토론이 정규 분포 (또는 안정적인 분포)를 확률 밀도 공간의 "유인 자"라고 말합니다. 예를 들어, Wikipedia의 치료 맨 위에서 다음 문장을 고려하십시오 .

보다 일반적인 사용법에서 중심 한계 정리는 확률 이론의 약한 수렴 이론 세트 중 하나입니다. 그들은 모두 독립적이고 동일하게 분포 된 (iid) 무작위 변수 또는 특정 유형의 의존성을 갖는 무작위 변수의 합이 작은 유인 자 분포 중 하나에 따라 분포되는 경향이 있다는 사실을 표현합니다 . iid 변수의 분산이 유한 한 경우 어 트랙터 분포는 정규 분포입니다.

이 동적 시스템 언어는 매우 암시 적입니다. 펠러는 또한 그의 두 번째 책에서 CLT를 치료할 때 "매력"에 대해 말하고 (이것이 언어의 원천인지 궁금합니다), 이 노트 에서 Yuval Flimus 는 "매력의 유역"에 대해서도 말합니다. (I "는의 정확한 형태 그가 정말 의미한다고 생각하지 않는 매력의 분지가 추론 될 사전이다"가 아니라 "의 정확한 형태 트렉터가 추론 될 사전은"; 여전히 언어가있다.) 내 질문은 : 수있는이 역동적 인 유추가 정확합니까?나는 많은 책들이 정규 분포가 컨볼 루션 하의 안정성 (푸리에 변환 하에서의 안정성)을 위해 특별하다는 점을 강조하지만, 그것들이 어떤 책인지는 모른다. 이것은 기본적으로 법선이 고정 소수점이기 때문에 법선이 중요하다는 것을 알려줍니다. CLT는 더 나아가서 고정 된 지점이 아니라 유인 자라고 말합니다.

이 기하학적 그림을 정확하게 만들기 위해 위상 공간을 적절한 무한 차원 함수 공간 (확률 밀도 공간)으로 만들고 진화 연산자를 초기 조건으로 반복해서 컨볼 루션을 반복한다고 상상합니다. 그러나 나는이 그림을 만드는 데 관련된 기술이나 그것을 추구 할 가치가 있는지 전혀 모른다.

나는이 접근법을 명시 적으로 추구하는 치료법을 찾을 수 없기 때문에, 그것이 이루어질 수 있거나 흥미로울 수 있다는 내 감각에는 어떤 문제가있을 것이라고 생각합니다. 그럴 경우 이유를 듣고 싶습니다.

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Kjetil의 답변에 힘 입어 문헌을 파고 들자 Y. Sinai의 저서 외에 CLT에 대한 기하학적 / 동적 시스템 접근 방식을 진지하게 받아들이는 몇 가지 참고 문헌을 발견했습니다. 관심을 가질만한 다른 사람들을 위해 찾은 내용을 게시하고 있지만이 관점의 가치에 대해 전문가의 의견을 듣고 싶습니다.

가장 중요한 영향은 Charles Stein의 작업에서 비롯된 것 같습니다. 그러나 내 질문에 대한 가장 직접적인 대답은 Hamedani와 Walter의 분포 함수 공간에 메트릭을 설정하고 회선이 수축을 생성하여 정규 분포를 고유 한 고정 소수점으로 생성한다는 것을 보여줍니다.

• 안 셀레 비치 자유 확률 이론의 중심 한계 연산자의 선형화 , arXiv : math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein 및 Q. Shao, Stein 's Method에 의한 정규 근사 , Springer, 2011.
• JA Goldstein, 중앙 한계 정리 및 기타 분석 이론에 대한 반 그룹 이론적 증거 , Semigroup Forum 12 (1976), no. 3, 189–206.
• GG Hamedani와 GG Walter, 고정 점 정리 및 중앙 한계 정리에 대한 적용 Arch에 적용. 수학. (바젤) 43 (1984), no. 3, 258–264.
• S. Swaminathan, 고정 소수점 이론 및 적용 (Marseille, 1989), Pitman Res. 수학 노트. Ser., vol. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, 391–396 쪽. Karl Stromberg, 분석가의 확률, 114 페이지 에서 인용 됨 .

2018 년 10 월 19 일 추가됨 .

이 관점의 또 다른 출처는 Oliver Knill의 확률과 확률 적 프로세스 (응용 프로그램 포함) , p. 11 (강조 추가) :

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$ 의 분포입니다 $S^{*}_n$ 정규화 된 합계 $n$ IID 랜덤 변수 $X_i$. 이 Markov 연산자에는 표준 정규 분포 인 고유 한 평형 점이 있습니다. 실제 라인의 모든 분포 중에서 분산이 최대 인 엔트로피$1$ 그리고 의미 $0$. 중앙 한계 정리는 Markov 연산자를 알려줍니다$P$ 분포 의 약한 수렴 토폴로지를 취 하면 정규 유인이 유인 고정 점 으로$\mathcal{L}^1$. 이것은 다른 상황에서도 작동합니다. 예를 들어, 원값 랜덤 변수의 경우 균일 분포는 엔트로피를 최대화합니다. 그러므로 균일 분포를 제한 분포로 갖는 원가 랜덤 변수에 대한 중심 한계 정리가 있다는 것은 놀라운 일이 아닙니다.

Y Sinai (Springer)의 "Probability Theory An Introductory Course"라는 텍스트는 이러한 방식으로 CLT에 대해 설명합니다.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

아이디어는 (메모리에서 ...)

1) 정규 분포는 엔트로피를 최대화합니다 (고정 분산이있는 분포 중) 2) 평균화 연산자 $A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$분산을 유지하고 엔트로피를 증가시킵니다 ... 그리고 나머지는 기술입니다. 그러면 연산자 반복의 동적 시스템 설정을 얻게됩니다.