동전을 뒤집을 때 이항 cdf 또는 일반 cdf를 사용해야합니까?

공정성을 위해 동전을 테스트해야합니다. 50 번 넘겼을 때 30 개의 머리가 나옵니다. 동전이 공정하다고 가정하면, 50 번의 플립에서 30 번 이상의 헤드를 얻을 확률은 얼마입니까?

선생님에 따르면이 문제를 해결하는 올바른 방법은

normalcdf(min = .6, max = ∞, p = .5, σ = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

그러나 나는 이와 같이 이항 누적 분포 함수를 사용했습니다.

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

나는 이항 분포에 대한 기준이 만족된다고 생각합니다. 개별 사건은 독립적이며, 가능한 두 가지 결과 (머리와 꼬리)가 있으며, 질문의 확률은 일정하며 (0.5), 시행 횟수는 50으로 고정되어 있습니다 그러나 분명히 두 가지 방법은 서로 다른 답변을 제공 하며 시뮬레이션 은 내 답변을 지원합니다 (적어도 몇 번 실행 한 것 같습니다. 분명히 동일한 결과를 얻을 수 있음을 보장 할 수는 없습니다).

정규 분포 곡선 이이 문제를 수행하는 올바른 방법이라고 가정하여 선생님이 잘못 되었습니까 (분포가 정상이라고 말하지는 않지만 n * p 및 n * (1- p) 는 모두 10) 이항 분포에 대해 잘못 이해 했습니까?

다음은 whuber와 onestop의 답변을 보여줍니다.

이항 분포 에서는 검정으로, 근사 근사값 의 밀도로, 파랑 색 으로 에 해당하는 표면 .$\mathcal Bin(50,0.5)$$\mathcal N(25, 12.5)$$\mathbb P(Y > 29.5)$$Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$

대응 빨간색 막대의 높이 위한 의해 잘 근사 . 근사값을 얻으려면 를 사용해야 합니다.$\mathbb P(X=k)$$X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$P(X≥30)P(Y>29.5$\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$$\mathbb P(X \ge 30)$$\mathbb P(Y>29.5)$

( ) 이것은 (R에 의해 획득 ) 반면 근사값은 정확합니다.P ( X ≥ 30 ) ≃ 0.1013194

$$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$$ 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5)) $$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$$

이것을 연속성 교정 이라고 합니다 . 와 같은 "포인트 확률"도 계산할 수 있습니다 . $\mathbb P(X=22)$

$$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$$

연속 분포를 사용하는 경우 정규 분포는 이항에 가까운 근사값을 제공합니다 . 귀하의 예를 위해 이것을 사용하면 0.1015를 얻습니다. 이것은 숙제이므로 세부 사항을 작성하기 위해 당신에게 맡길 것입니다.

이걸 고려하세요. 이산 이항 분포에는 개별 숫자에 대한 실제 확률이 있습니다. 그렇지 않은 연속 법선에서는 값의 범위가 필요합니다. 그렇다면 ... 개별 값의 확률을 대략적으로 계산하려면 이항식에서 X를 어떻게 가정하겠습니까? 이항 분포의 확률 히스토그램을 살펴보면 그 위에 정규 곡선이 있습니다. X의 이항 확률이 정규 근사값과 비슷한 것을 캡처하려면 실제로 X ± 0.5 중에서 선택해야합니다.

이제 분포의 꼬리를 선택할 때까지 확장하십시오. 이항 법을 사용하면 전체 값의 확률 (이 경우 30)과 더 높은 모든 것을 선택하게됩니다. 따라서 연속을 수행 할 때이를 캡처하고 0.5도 적게 선택해야하므로 연속 분포의 컷오프는 29.5입니다.