코인 플립의 결과를 정확하게 추측 할 수있는 가능성을 최대화하려면 항상 가장 가능한 결과를 선택해야합니까?

이것은 숙제가 아닙니다. 이 간단한 통계 문제로 내 논리가 올바른지 이해하고 싶습니다.

머리를 뒤집을 확률이 이고 꼬리를 뒤집을 확률이 양면 동전이 있다고 가정하겠습니다 . 모든 플립에 독립적 인 확률이 있다고 가정 해 봅시다. 이제 동전이 다음 플립에서 머리인지 꼬리인지 예측할 수있는 가능성을 최대화하고 싶다고 가정하겠습니다. 경우 , I 랜덤 머리 또는 꼬리를 추측 할 수 있고 저 정확할 확률은 . $P(H)$ $1-P(H)$ $P(H) = 0.5$ $0.5$

이제 라고 가정합니다. $P(H) = 0.2$ 정확하게 추측 할 수있는 확률을 최대화하려면 항상 확률이 꼬리를 추측해야 $0.8$ 합니까?

3면 다이가 있고 1, 2 또는 3을 굴릴 확률이 $P(1)=0.1$ , $P(2)=0.5$ , 인 경우이 단계를 더 진행하십시오. $P(3)=0.4$ , 정확하게 추측 할 수있는 가능성을 최대화하려면 항상 2를 추측해야합니까? 더 정확하게 추측 할 수있는 다른 방법이 있습니까?

probability

— 터틀
소스

당신이 독립에 대해 묻는 것처럼 들립니다. 예를 들어 한 번 머리를 얻는다면 다음에 '꼬리'가 더 잘됩니까? 이것이 당신이 요구하는 것이 아닌 경우, 질문을 명확히 할 수 있습니까? (귀하의 질문을 정확하게 이해했다면 답은 '예'입니다. 동전 던지기와 같은 상황에서 가장 가능성이 높은 결과는 이전에 일어난 일에 관계없이 항상 가장 높은 확률을 가진 결과 일 것입니다.

— arboviral

@arboviral의 도움에 감사드립니다. 예, 저는 독립을 가정하고 있습니다. 이것을 나타 내기 위해 질문을 업데이트했습니다.

— turtle

독립성을 가정 할 수있는 가장 좋은 방법은 확률이 가장 높은 쪽을 선택하는 것입니다. 이런 식으로 생각하십시오. 더 나은 추측을 할 수있는 다른 정보가 없습니다. 주사위에 대해 아는 것은 특정면이 얼마나 자주 나타나고 마지막 커플이 던지는 것입니다. 그러나 독립성은 이전 행이 현재 던지기에 영향을 미치지 않는다고 알려줍니다. 주사위 던지기, 왼손잡이 / 오른손 던지기 또는 굴리기 전에 흔들리는 횟수와 같은 더 많은 정보가있을 수 있습니다. 그러나 주사위가 정말 공평하다면 그 정도의 디테일이 더 나은 예측을 제공 할 수 있을지 의심 스럽다.

— 브렌트 페리

(1, \infty)

$(1, \infty)$

P (H) = 0.2라는 것을 알고 있습니까? 아니면 결과를 관찰하여 알아 내야 할 것이 있습니까?

— Akavall

답변:

$P(H) = 0.2$

사람들은 종종 정답이 무작위로 선택된 시행의 80 %에서 꼬리를 추측하고 나머지 부분을 추측하는 것이라고 잘못 생각합니다. 이 전략을 " 확률 일치 " 라고 하며 행동 결정에 광범위하게 연구되어 왔습니다. 예를 들어

KE West & RF & Stanovich (2003). 확률 매칭은 똑똑합니까? 확률 론적 선택과인지 능력 사이의 연관성. 기억과 인식, 31 , 243–251. 도이 : 10.3758 / BF03194383

— 코디과
소스

확률 일치에 대한 포인터의 경우 +1 나는 그것을인지 편견으로 매일 활용한다고 확신하지만 이전에는 들어 본 적이 없습니다! :)

— leekaiinthesky

(+1) 이것은 다항 회귀 모델 등을 해석하는 데있어 일반적인 오해와 관련이 있습니다. 사람들은 예측 된 클래스의 분포가 관측 된 클래스의 분포와 일치하지 않으며,이를 "고정"하는 방법을 추구하기도합니다. . (이름이 있다는 것을 알고 반갑습니다.)

— Scortchi-Monica Monica 복원

"확률 일치"라는 용어는 (+1)입니다.

— Haitao Du

당신은 본질적으로 매우 흥미로운 질문을하고 있습니다 : "MAP Bayesian" Maximum 사후 추정 또는 "Real Bayesian"을 사용하여 예측해야합니까 ?

$P(H)=0.2$ $20$ $80$

\arg max_{θ} f (x | θ)

$\arg\max_ \theta f(x|\theta)$

그렇게함으로써 예측 오차 (0-1 손실)를 최소화 할 수 있음을 증명하는 것은 어렵지 않습니다. 증명은 통계 학습 소개의 ~ 페이지 53에서 찾을 수 있습니다 .

이것을 "실제 베이지안"접근 방식이라고하는 다른 방법이 있습니다. 기본적으로 "가장 높은 확률로 결과를 선택하지 말고 확률 적으로 모든 경우를 고려하십시오". 따라서 누군가가 "다음 100 번 예측"플립을 요청하면 100 개의 이진 결과를 제공 할 때 일시 중지해야합니다. 각 결과에 대한 확률 정보가 사라집니다. 대신 결과를 알고 난 후에 무엇을하고 싶은지 물어야합니다.

손실 기능이 있다고 가정합니다 (예 : 0-1 손실에는 필요하지 않습니다. 예를 들어 손실 기능은 머리를 놓치면 1 달러 를 지불해야 하지만 꼬리를 놓치면 지불해야 함) 예측에 $ 5, 즉 불균형 손실)이 있으면 전체 분포에 대한 손실을 최소화하기 위해 결과 분포에 대한 지식을 사용해야합니다.

\sum_{x} \sum_{y} p (x, y) L (f (x), y)

$\sum_x \sum_y p(x,y) L(f(x),y)$

즉, "단계별 방식"대신 손실 분포에 대한 지식을 통합하여 예측을 얻고 다음 단계를 수행하십시오.

또한 가능한 많은 결과가있을 때 무엇을 갖게 될지에 대한 직관이 매우 좋습니다. 결과 수가 많고 확률 질량이 널리 퍼져 있으면 MAP 추정이 제대로 작동하지 않습니다. 당신이 100 개의 부수적 인 주사위를 가지고 있고 실제 분포를 알고 있다고 생각하십시오. 여기서 이고 입니다. 이제 MAP으로 무엇을하십니까? 항상 다른 쪽에 가장 큰 확률을 가지므로 항상 첫 번째면 을 얻는 것으로 추측합니다 . 그러나 당신은 시간의 를 잘못 얻을 것입니다 ! $P(S_1)=0.1$ $P(S_2)=P(S_3)=P(S_{100})=0.9/99=0.009090$ $S_1$ $90\%$

— 하이 타오 뒤
소스

MAP도 베이지안입니다. 또한, 당신은 둘 다 베이지안 방법에 대해 작성하는 당신 때문에 오해의 소지가 될 수있는 전과를 사용하여 어쨌든 참조하지 않고 접근 방법에 대해 설명하고 전과는 그 방법의 핵심 기능입니다.

— 팀

"따라서 누군가가 당신에게"다음 100 예측 "플립을 요구한다면, 당신은 그렇게하지 말아야합니다." 내가 정확하게 예측한다면 누군가가 나에게 10 억 유로를 제안했다면, 아마 거절하지 않을 것입니다. 또는 '추측 시도'와 다른 의미로 '예측'을 의미 할 수도 있습니다.

— JiK

"100 개 바이너리 결과를 제공 할 때, 각각의 결과에 대한 확률 정보는 사라" 처음 엔에 "당신은 때와 같이이 글을 읽을 부여 (100 개) 진 결과를"및 문장을 이해할 수 없었다,하지만 지금은 당신이 때 "의미 할 수 깨달았다 제공 이진 결과 100 ". 어느 것이 옳으며, 첫 번째라면 무엇을 의미합니까?

— JiK

아주 작은 요점 : 아마도 첫 번째 두 단락이 기술적으로 문자 그대로의 질문에 대답하기에 충분하고 나머지는 다소 추가 정보 (확실히 흥미롭고 유용함)임을 나타 내기 위해 아마도 두 번째 단락 뒤에 수직선을 추가 할 것입니다.

— JiK

마지막 단락 : "결과 수가 많으면 MAP 추정이 제대로 작동하지 않습니다.--그러나 90 %의 시간이 잘못됩니다 !!" 잘 작동하지 않는 것은 항상 상황의 문제입니다. 예를 들어, 반복 베팅 게임 인 경우 (냄비가 정확하게 추측하거나 아무도 추측하지 않으면 반환되는 사람들로 나뉘어 짐), MAP 전략은 추측을하는 사람들과 대결 할 경우 장기적으로 많은 돈을 벌어야합니다. 결과 분포로부터.

— JiK

독립성으로 인해 가장 가능성이 높은 경우를 추측하면 기대 값이 항상 최대화됩니다. 각 플립 / 롤은 코인 / 다이에 대한 추가 정보를 제공하지 않기 때문에 더 나은 전략은 없습니다.

어쩌면 가장 가능성이 높은 경우를 추측했을 때보 다 결과가 덜 나올 것으로 예상되는 경우 예상 결과가 낮을 가능성이 높습니다. 따라서 가장 가능성이 높은 경우를 추측하는 것이 좋습니다.

뒤집어 놓을 때 전략을 변경해야한다면 처음에 확률을 알지 못하는 동전 / 식당을 고려할 수 있으며 롤링 할 때이를 알아 내야합니다.

— 키터 캐터
소스

나에게이 대답은 가장 간단한 설명이다. 이전의 결과를 고려한 전략을 정의해야한다면 "독립적"확률이 깨집니다.

— Walfrat