연속성 보정 (예 : 이항 분포에 대한 정규 근사)이 작동하는 이유는 무엇입니까?

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정규 근사에 대한 이항 분포에 대한 연속성 보정 이 어떻게 도출 되었는지 더 잘 이해하고 싶습니다 .

1/2을 더해야한다고 결정하기 위해 어떤 방법을 사용 했습니까 (다른 숫자는 아님)? 모든 설명 (또는 이것 이외의 제안 된 독서에 대한 링크 가 인정 될 것입니다).

binomial asymptotics

— 탈 갈릴리
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실제로 그것은 항상 "작동"하지 않습니다 (항상 의해 이항 cdf의 근사치를 항상 개선한다는 의미에서 ). 이항 가 0.5이면 아마도 가장 극단적 인 꼬리를 제외하고 항상 도움이된다고 생각합니다. 가 0.5에서 너무 멀지 않은 경우 합리적으로 큰 대해 일반적으로 맨 끝을 제외하고는 매우 잘 작동하지만 가 0 또는 1에 가까우 면 전혀 도움이되지 않을 수 있습니다 (아래 6 항 참조). $x$ $p$ $p$ $n$ $p$
명심해야 할 것은 (거의 항상 pmfs와 pdfs를 포함하는 그림에도 불구하고) 우리가 근사하려고하는 것은 cdf라는 것입니다. 이항의 cdf와 근사 법선 (예 : )으로 무슨 일이 일어나고 있는지 숙고하는 것이 유용 할 수 있습니다 . $n=20,p=0.5$

한계에서 표준화 된 이항의 cdf는 표준 법선으로 이동합니다 (표준화는 x 축의 스케일에 영향을 미치지 만 y 축에는 영향을 미치지 않습니다). 점점 대형 길을 따라 이항 CDF의 점프보다 균등하게 정상적인 CDF를 걸쳐하는 경향이있다. $n$

위의 간단한 예에서 확대하여 살펴 보겠습니다.

근사 법선이 수직 점프의 중간에 가까워 지므로 * 한계에서 법선 cdf는 국소 적으로 대략 선형이며 (각 점프의 상단에서 이항성 cdf의 진행과 같이); 결과적으로 cdf는 근처의 수평 단계를 교차하는 경향이 있습니다. 정수 에서 이항 cdf, 의 값을 근사하려면 정규 cdf가 근처의 높이에 도달합니다 . $x+\frac{_1}{^2}$ $F(x)$ $x$ $x+\frac{_1}{^2}$

* Berry-Esseen을 평균 보정 Bernoulli 변수에 적용하면 Berry-Esseen 경계는 가 근처에 있고 가 근처에 있을 때 매우 작은 흔들림 공간을 허용 합니다. 일반 cdf는 그렇지 않으면 cdfs의 절대 차이가 한쪽 또는 다른 쪽의 최고의 Berry-Essen 경계를 초과하기 때문에 점프합니다. 이는 정규 cdf가 이항 cdf의 스텝 함수의 수평 부분을 가로 지르는 의 거리와 관련이 있습니다. $p$ $\frac12$ $x$ $\mu$ $x+\frac{_1}{^2}$
1.에서 이항 cdf에 대한 정규 근사를 사용하여 를 해결하는 동기를 확장 하자는 동기를 확장 해 봅시다 . 예를 들어 (위의 두 번째 다이어그램 참조). 따라서 평균이 같고 sd 인 법선은 입니다. 약 8.5에서 9.5 사이의 일반 cdf 변경으로 9에서 cdf의 점프를 추정합니다. $P(X=k)$ $n=20, p=0.5, k=9$ $N(10,(\sqrt{5})^2)$

덜 공식적이지만 "보통"교과서 동기 부여 (특히 초보자를 위해 더 직관적 일 수 있음) 하에서 같은 일을하면서, 우리는 이산 변수를 연속 변수로 근사하려고합니다. 우리는 높이 각 확률 스파이크 바꾸어 이항 연속 버전 수 중심으로 한 폭의 직사각형으로 그것을 가로주는 (청색 사각형 아래 참조; 모든 X- 하나 상상 그런 다음 원래 이항과 같은 평균과 sd를 가진 정규 밀도로 근사합니다. $p(x)$ $x$ $p(x)$

상자 아래의 면적은 와 사이의 법선에 의해 근사됩니다 . 수평 계단의 위와 아래에있는 두 개의 거의 삼각형 부분은 서로 가깝습니다. 구간 내 이항 확률의 합은 이러한 근사값의 모음으로 줄어 듭니다. 당신이 올라가거나 아래로 0.5 이항 값은 당신이 당신의 계산에 원하는에서 특정 계산 ... 작업에 의해 양쪽을 갈 필요가 있는지 여부는 즉시 취소되어 있지 않은 경우 (이런 그림을 그리는 것은 종종 매우 유용합니다 에 대한 각각.) $x-\frac12$ $x+\frac12$ $\frac12$

이 접근 방식은 파생을 사용하여 대수적으로 (De Moivre의 선을 따라 ( 여기 또는 여기 참조)) 정규 근사값을 도출 할 수 있습니다 (De Moivre의 접근 방식보다 약간 더 직접적으로 수행 할 수 있음).

그것은 본질적으로 항 에 대한 스털링의 근사를 사용하고 를 사용하여 몇 가지 근사를 통해 진행됩니다. ${n \choose x}$ $\log(1+x)\approx x-x^2/2$

$P (X = x) \approx \frac{1}{\sqrt{2 π n p (1 - p)}} \exp (- \frac{(x - n p)^{2}}{2 n p (1 - p)})$ $P(X=x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\exp(-\frac{(x-np)^2}{2np(1-p)})$
평균은 통상의 밀도 말할 인 및 분산 에서 약의 이항 PMF의 높이 . 이곳은 본질적으로 De Moivre가있는 곳입니다. $\mu=np$ $\sigma^2 = np(1-p)$ $x$ $x$

이제 우리는 이항 높이 측면에서 정상 영역에 대한 중간 점 규칙 근사가 있다고 생각합니다. 즉, 의 경우 중간 점 규칙은 우리는 De Moivre에서 . 이것을 뒤집 으면 입니다. $Y\sim N(np,np(1-p))$ $F(y+\frac12)-F(y-\frac12) = \int_{y-\frac12}^{y+\frac12}f_Y(u)du\approx f_Y(y)$ $f_Y(x)\approx P(X=x)$ $P(X=x)\approx F(x+\frac12)-F(x-\frac12)$

[연속 보정을 사용하여 밀도에 의해 연속 pmfs의 다른 근사를 동기 화하기 위해 유사한 "중간 점 규칙"유형 근사를 사용할 수 있지만 근사를 호출하는 것이 적절한 곳에 항상주의를 기울여야합니다]
역사적 메모 : 연속성 보정은 1838 년 De Moivre의 근사치의 개선으로 Augustus de Morgan에서 시작된 것으로 보입니다. 예를 들어 Hald (2007) [1]을 참조하십시오. Hald의 설명에서, 그의 추론은 위의 항목 4의 라인을 따른 것입니다 (즉, 본질적으로 확률 스파이크를 x 값을 중심으로하는 너비 1의 "블록"으로 대체하여 pmf를 근사하려는 관점에서).
연속성 수정이 도움이되지 않는 상황의 예 :

왼쪽 그림에서 (이전과 같이 는 이항이고, 는 정규 근사입니다), 그리고 . 우측의 그래프 (꼬리로 동일하지만 상기 이항)에서, 등 - 이는 인 연속 보정을 무시하는 것이이 영역에서 사용하는 것보다 낫습니다. $X$ $Y$ $F_X(x)\approx F_Y(x+\frac12)$ $p(x) \approx F_Y(x+\frac12)-F_Y(x-\frac12)$ $F_X(x)\approx F_Y(x)$ $p(x) \approx F_Y(x)-F_Y(x-1)$

[1] : Hald, Anders (2007),
"Beroulli에서 Fisher까지의 매개 변수 통계적 추론의 역사, 1713-1935"
,
Springer-Verlag New York 의 수학 및 물리학 역사의 출처 및 연구

— Glen_b-복귀 모니카
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나는 우리가 지속적인 분포를 이산과 비교한다는 사실에서 그 요인이 발생한다고 믿는다. 따라서 연속 분포에서 각 개별 값이 의미하는 바를 번역해야합니다. 우리는 다른 값을 선택할 수 있지만 주어진 정수에 대해 불균형합니다. (즉, 6보다 7이 7 일 확률이 5보다 높습니다.)

여기 유용한 링크를 발견 : 링크를

— 키터 캐터
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