두 개의 종속 랜덤 변수를 추가하는 방법은 무엇입니까?

컨볼 루션을 사용할 수 없습니다. 두 개의 임의 변수 A와 B가 있으며 종속적입니다. A + B의 분배 기능이 필요합니다

random-variable non-independent

— 메스 코
소스

A와 B가 종속적 인 경우 A와 B의 공동 분포는 A + B의 분포에 도달해야합니다.

— vinux

나는 너의 질문을 이해할 수 없다. 당신은 무엇을 알고 있으며 왜 컨볼 루션을 사용할 수 없습니까?

— 시안

나는 A와 B의 분포 함수를 알고있다. f A와 B는 두 개의 독립적 인 연속 랜덤 변수이다. 그런 다음 f (A)와 g (B)의 컨벌루션을 취함으로써 Z = A + B의 분포를 찾을 수있다 : h ( z) = (f * g) (z) = ∫∞−∞f (A) g (z−B) dA 그러나 독립적이지 않은 경우 어떻게해야합니까? 이것이 바보 같은 질문이라면 죄송합니다.

— Mesko

메스 코의 멍청한 질문은 아니지만 사람들이 지적하는 것은 더 많은 정보가 필요하다는 것입니다. 대답은 와 어떻게 독립적이지 않은지에 달려 있습니다. 이에 대한 자세한 설명은 와 의 공동 분포에 의해 제공되며 , 이는 Vinux가 요구하는 것입니다. 시안은 좀 더 섬세하게 조사하고 있지만 진전을 돕기 위해 같은 종류의 정보를 찾고 있습니다.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

답변:

Vinux가 지적했듯이 와 의 공동 분포가 필요하며 OP Mesko의 응답 "A와 B의 분배 기능을 알고 있습니다"에서 A와 B의 공동 분포를 알고 있다고 말하는 것은 분명하지 않습니다 . 그가 A와 B의 한계 분포를 알고 있다고 말하고 있지만, Mesko가 공동 분포를 알고 있다고 가정하면 그 대답이 아래에 나와 있습니다. $A$ $B$

OP Mesko의 의견에 컨볼 루션 적분 (그런데 잘못된 것임)에서 Mesko는 공동 연속 랜덤 변수 와 관심이 있다고 추론 할 수 있습니다 $A$ $B$ 공동 확률 밀도 함수 가진 . 이 경우 $f_{A,B}(a,b)$ 경우및독립적으로, 한계 밀도 함수의 생성물로 조인트 밀도 함수의 계수 :

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ 독립적 인 랜덤 변수에 대해 더 친숙한 컨볼 루션 공식을 얻습니다. 이산 랜덤 변수에도 유사한 결과가 적용됩니다.

와 가 함께 연속적이지 않거나 임의의 변수가 연속적이고 다른 하나가 이산 인 경우 상황이 더 복잡합니다 . 그러나 모든 경우에 항상 로 지정된 평면의 영역에서 총 확률 질량으로 의 누적 확률 분포 함수 를 찾을 수 있습니다 $A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ 그리고 분포 함수로부터 확률 밀도 함수, 또는 확률 질량 함수, 또는 무엇이든 계산한다. 실제로 상기 공식은 를 특정 영역에 대한 조인트 밀도 함수의 이중 적분 으로 쓴 다음 "적분 부호 아래에서 분화" 함으로써 얻어진다 . $F_{A+B}(z)$

— 디립 사르 베이트
소스

이것은 내 의견과 관련이 대답 에 또 다른 질문 며칠 전 공동 분배를 처리.

— 시안

미리, 나는 내가 말하는 것이 올바른지 모르겠지만 같은 문제에 갇혀서 이런 식으로 해결하려고했습니다.

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$

이것은 관절의 wolfram 표현입니다 : A

내가 가진 적분을 계산 : B

플로팅 : C

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$

— R. 락
소스

질문은 답을 얻을 수있는 공동 분포에 대해 구체적으로 보이지 않았습니다. 어떻게 지냈어?

— Michael R. Chernick

@cdlg의 답변에서 주장 된 반례를 올바르게 해결하고 올바르게 수행 하면 계산 이 올바른 답변을 제공하지만 잘못된 결과는 cdlg의 답변이 아님을 보여줍니다. 나는 그 대답이 두 개의 공감대를 받았다고 믿을 수 없다.

— Dilip Sarwate