n 정상 정규 변수의 최대 비율에 대한 예상 값

가정 에서 IID되는 과하게 나타내고 '번째 행 작은 소자 . 에서 두 연속 요소 간의 비율의 예상 최대 값을 어떻게 상한으로 지정할 수 있습니까? 즉, 상한을 어떻게 계산할 수 있습니까? $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

내가 찾은 문헌은 주로 두 개의 임의 변수 사이의 비율에 초점을 맞추고 있으며, 두 개의 상관 관계없는 정규 분포에 대한 pdf가 여기에 제공됩니다 : https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . 이 예상되는 평균 비율 UPPERBOUND 나를 수 있도록 것이지만 $n$ 변수를 내가 예상되는 최대 비율을 찾아 내기에이 개념을 일반화하는 방법을 볼 수 $n$ 변수를.

— 맥스
소스

whuber가 아래에 언급했듯이, 두 개의 연속 주문 통계 비율에 대한 기대는 수렴되지 않습니다. 그러나 차이가 있거나 차이점에 관심이 있다면

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$ ... 문제는 실제로 두 개의 가장 큰 주문 통계, 즉

의 비율 (또는 경우에 따라 차이)을 찾는 것으로 단순화해야합니다.

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$ ... 보통 꼬리의 모양과 같습니다.

— wolfies

기대치는 미정이다.

송출 에 따라 IID 수 있는 유통 다음과 같은 속성 : 양수가 존재하는 과 긍정적 인 그러한를 $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

모든 입니다. 이 특성은 밀도가 모든 연속적인 분포, 이러한 정규 분포의 사실 의 연속 제로가 아닌 다음 들면, 에 우리를 허용 과 사이의 고정 값 을 취하십시오 . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

분석을 단순화하기 위해 및 . 두 정규 분포에 모두 해당됩니다. 후자는 필요한 경우 크기를 재조정하여 보장 할 수 있습니다 . 전자는 단순한 확률을 과소 평가하는 데만 사용됩니다. $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

하자 우리가 비율의 생존 기능 등을 과대 평가하게 $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

후자의 가능성은 정확하게하는 기회 의 초과 구간에 단 하나의 거짓말 , 나머지 (있는 경우) 정이된다. 측면에서 기회가 주어진 것을 다항식으로 $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

경우 , 부등식 하부에 제공 비례하다 행이 것을 보여주는 $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

생존 함수 의 로 점근 행동 꼬리 갖는 : 인 양수 . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

정의에 따르면 임의의 변수에 대한 기대는 양의 부분 에 대한 기대와 음수 부분에 대한 기대 입니다. 이후 존재하는 경우 - - 기대의 양극 부 생존 기능의 정수이다 (행 에 ) 및 $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

기대의 긍정적 인 부분이 다양합니다. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

변수 적용되는 동일한 인수 는 기대의 음수 부분이 표시 됩니다. 따라서 비율에 대한 기대는 무한한 것이 아니며 정의되지 않았습니다. $-X_i$

— 우버
소스

+1 나는 단지 '간단한' 사례를 시도하고 있었고, 기대치를 평가하려고 시도했지만 같은 결론에 도달했습니다. 기대 적분이 수렴하지 않는다는 것입니다. 아마도 영업 이익은 오히려 비율에 비해 차이와 같은 다른 형태로 질문을 캐스팅 다시됩니다

n = 3

$n = 3$

— wolfies