위험률 배후의 직관

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위험률의 정의로 사용되는 방정식에 대해 혼란 스럽습니다. 나는 위험률이 무엇인지에 대한 아이디어를 얻었지만 방정식이 그 직관을 어떻게 표현하는지 보지 못합니다.

$x$ 가 시간 간격 에서 누군가의 사망 시점을 나타내는 임의의 변수 인 경우 $[0,T]$ . 그런 다음 위험률은 다음과 같습니다.

h (x) = \frac{f (x)}{1 - F (x)}

$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$

여기서 $F(x)$ 시점까지 사망 가능성을 나타내는 $x\in[0,T]$ ,
$1-F(x)$ 시점까지 생존 한 확률 나타내는 $x\in[0,T]$ ,
및 $f(x)$ 지점에서의 사망 확률입니다 . $x$

어떻게 분할 않는 $f(x)$ 다음에 즉사 확률의 직관을 설명 생존율로 $\Delta t$ ? 이어야 $f(x)$ 위험률을 계산하는 것이 간단하지 않습니까?

survival intuition hazard

— 사용자 246315
소스

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하자 (당신이 덜 병적 인 설명을 선호하는 경우 또는 실패 시간) 죽음의 시간을 나타낸다. 가 밀도 함수 가 에서만 0이 아닌 연속 랜덤 변수 라고 가정합니다 . 이제 고지가 있음을 해야 하는 경우가 멀리에 붕괴 으로 때문에 경우 붕괴 거리에 명시된 바와 같이하지 않는, 다음 $X$ $X$ $f(t)$ $(0,\infty)$ $f(t)$ $0$ $t \to \infty$ $f(t)$ 은 유지할 수 없습니다. 따라서가 시간에서의 사망 확률이라는 사실 (실제로는짧은간격 의사망 확률 임)길이)는 다음과 같은 믿기 어려울 정도로 믿을 수없는 결론을 가져온다 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ $f(T)$ $T$ $f(T)\Delta t$ $(T, T+\Delta t]$ $\Delta t$

다음 달에 90 세가 될 때보 다 30 세가되면 사망 할 가능성이 높습니다.

가 와 때마다 . $f(t)$ $f(30) > f(98)$

이유는 왜 (또는 )의 값이다 봐에 "잘못된"확률은 단지 사람들에게 관심의 살아 나이에 정신적으로 여전히 (그리고 stats.SE를 정기적으로 읽으려면 충분히 경고하십시오!) 다음으로 볼 것은 살이 다음 달 안에 죽을 확률입니다. $f(T)$ $f(T)\Delta t$ $f(T)$ $T$ $T$

$\begin{aligned} P {(X \in (T, T + Δ t] ∣ X \geq T} & = \frac{P {(X \in (T, T + Δ t]) \cap (X \geq T)}}{P {X \geq T}} \\ definition of conditional probability \\ = \frac{P {X \in (T, T + Δ t]}}{P {X \geq T}} \\ = \frac{f (T) Δ t}{1 - F (T)} \\ because X is a continuous rv \end{aligned}$ $\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$

선택 우리가 결론에 도달 등 주간, 주, 일, 시간, 분, 일하는 것을 제 (순간) 위험 속도 A의 - 년 오래된 $\Delta t$ $T$

$h (T) = \frac{f (T)}{1 - F (T)}$ $h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$

한다는 점에서 대략 다음 펨토초 사망 확률 (A)의 이전 - 년이고 $(\Delta t)$ $T$ $\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

참고 밀도 달리 를 적분 적분 $f(t)$ $1$ 분기해야합니다. 이는 CDF가 다음을 통한 위험률과 관련이 있기 때문입니다. $\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

및이므로이어야합니다.

F (t) = 1 - \exp (- \int_{0}^{t} h (τ) d τ)

$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$

lim_{t \to \infty} F (t) = 1

$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$

이상 공식적으로 언급, 위험 속도의 적분이있어야분기 : 더이없는잠재적 인이전 편집 항에있어서 차이가.

\underset{티 \to \infty}{임} \int_{0}^{티} h (τ) 디 τ = \infty,

$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$

일반적인 위험률은 시간의 기능을 증가 시키지만 일정한 위험률 (지수 수명)이 가능합니다. 이러한 종류의 위험률은 분명히 분기 적분이 있습니다. 덜 일반적인 시나리오 (미세 와인처럼 나이가 들어감에 따라 물건이 좋아 진다고 믿는 사람들에게)는 시간이 지남에 따라 감소하지만 적분이 발산 될 정도로 천천히 위험률입니다.

— 디립 사르 베이트
소스

"X는 사망 시간 (또는 병적 상태가 덜 설명적인 경우 실패 시간)을 나타냅니다. 회복이 훨씬 덜 병적 상태가 될 때까지의 시간

— ryu576

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남성의 (첫번째) 결혼의 발생률에 관심이 있다고 상상해보십시오. 예를 들어, 20 세의 결혼 발생률을 살펴 보려면 해당 연령에 결혼하지 않은 사람들의 표본을 선택하고 내년 (21 세가되기 전에)에 결혼했는지 확인하십시오.

대한 대략적인 추정치를 얻을 수 있습니다

피 (미디엄 ㅏ 아르 자형 아르 자형 와이 비 이자형 에프 영형 아르 자형 이자형 21 | 엔 영형 티 미디엄 ㅏ 아르 자형 아르 자형 나는 이자형 디 ㅏ 티 20)

$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$

\frac{엔 (미디엄 ㅏ 아르 자형 아르 자형 나는 이자형 디 비 이자형 에프 영형 아르 자형 이자형 21 ㅏ 엔 디 엔 영형 티 미디엄 ㅏ 아르 자형 아르 자형 나는 이자형 디 ㅏ 티 20)}{엔 (엔 영형 티 미디엄 ㅏ 아르 자형 아르 자형 나는 이자형 디 ㅏ 티 20)}

$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$

따라서 기본적으로 이것은 조건부 확률, 의 정의를 사용합니다.

피 (엑스 | 와이) = \frac{피 (엑스, 와이)}{피 (와이)} .

$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$ 이제 연령 단위를 예를 들어 최대 며칠 더 작고 작게 만든다고 상상해보십시오. 즉 7300 일의 나이에 결혼의 발생률은 무엇입니까? 그런 다음 똑같이 할 것입니다. 그러나 7300 일의 모든 개인을 조사하고 하루가 끝나기 전에 누가 결혼했는지보십시오. 만약

T

$T$ is a random variable age at marriage, then we could write

P (T \leq 7301) | T \geq 7300) = \frac{P (T \in [7300, 7301))}{P (T \geq 7300)}

$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$ by the same logic as before.

The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at age $t$ , for a non-married individual. We can write this as

h (t) d t = P (T \in [t, t + d t) | T \geq t) = \frac{P (T \in [t, t + d t))}{P (T \geq t)}

$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$

— Theodor
소스

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$f(x)$ is not the probability of death, but the probability density; the expected number of times you die within the next unit of time if the probability density remained constant during that unit of time.

Notice there is a problem: your probability of dying when you already died before is rather problematic. So it makes more sense to compute the probability of dying conditional on having survived thus far. $1-F(t)$ 그것까지 살아남을 확률 $t$ 확률 밀도를 그 확률로 나누면 이전에 죽지 않은 조건에 따라 다음 시간 단위 내에서 죽을 것으로 예상되는 횟수를 얻을 수 있습니다. 이것이 위험률입니다.

— 마틴 부 이스
소스