블랙웰의 내기

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Futility closet 에서 Blackwell의 내기 역설에 대해 읽었습니다 . 다음은 요약입니다. 두 개의 봉투 ( 및 됩니다. 봉투에는 임의의 금액의 돈이 포함되어 있지만 돈에 대한 분포에 대해서는 아무것도 모릅니다. 하나를 열고 돈이 얼마나 있는지 확인하고 ( ) 선택해야합니다 : 봉투 또는 ? $E_x$ $E_y$ $x$ $E_x$ $E_y$

Futility Closet는 Leonard Wapner라고하는 수학자를 말합니다.

나에게 잘못된 것처럼 보이는 아이디어는 다음과 같습니다. 난수를 선택하십시오 . 인 경우 취하십시오 . 경우 선택 . $d$ $d < x$ $E_x$ $d > x$ $E_y$

Wapner :“d가 x와 y 사이에 있으면 예측 (d로 표시)이 올바른 것으로 보장됩니다. 이것이 확률 p로 발생한다고 가정하십시오. d가 x와 y보다 작 으면 선택한 숫자 x가 2보다 큰 경우에만 예측이 정확합니다. 이 확률은 50 %입니다. 마찬가지로 d가 두 숫자보다 큰 경우 선택한 숫자가 두 숫자보다 작은 경우에만 예측이 정확합니다. 이는 50 % 확률로도 발생합니다.”

가 에 있을 확률 이 0보다 크면이 방법의 평균 성공은 $d$ $[x,y]$ . 이것은 관련없는 임의의 변수를 관찰함으로써 추가 정보를 제공한다는 것을 의미합니다. $\frac{1}{2} + \frac{p}{2}$

나는 이것이 모두 잘못되었다고 생각하며 문제는 임의의 정수를 선택하는 데 있습니다. 무슨 뜻인가요? 어떤 정수? 그 경우에, 확률 것을 사이에있는 및 제로, 양쪽 때문에 와 유한하다. $p$ $d$ $x$ $y$ $x$ $y$

최대 금액에 한계가 있다고 말 하거나 이라고 말 하거나 적어도 에서 선택 하면 레시피는 경우 를 선택하는 사소한 조언으로 요약됩니다. 경우 선택하십시오 . $M$ $1...M$ $E_y$ $x < M/2$ $E_x$ $x > M/2$

내가 여기서 뭔가를 그리워합니까?

편집하다

자, 이제 나는 명백한 역설이 어디에서 오는지보기 시작합니다. 관련이없는 임의의 변수가 추가 정보를 제공 할 수는 없었습니다.

그러나 우리는 d 의 분포를 의식적으로 선택해야합니다 . 예를 들어, 균일 분포의 경계 또는 Poissionian 분포의 등을 선택하십시오. 땅콩을 가지고 놀 때, 우리는 달러에서 d 의 분포를 균일하게 선택했습니다. 입니다. 이 마지막 가능성은 무엇보다도 봉투 안에있을 수 있는 것에 대한 우리의 판단에 달려 있습니다 . $\lambda$ $[10^9, 2\cdot 10^9]$ $P(d \in (x,y)) = 0$

즉, 기술이 작동하면 봉투에 돈이 어떻게 분포되어 있는지 (봉투에 대한 금액이 어떻게 선택되었는지) 모른다는 가정이 위반됩니다. 그러나 봉투에 무엇이 들어 있는지 모르는 경우 최악의 시나리오에서는 적용하여 아무것도 풀지 않습니다.

편집 2

또 다른 생각. 주어지면 , 를 그리기 위해 가되도록 연속적인 음이 아닌 분포를 선택합시다 . 우리는 그렇게 할 수 있습니다. 맞습니까? 지시대로 진행하십시오 인 경우 봉투를 유지하고 인 경우 봉투를 변경합니다. 분포를 선택하는 방법에 따라 추론은 변경되지 않습니다. $x$ $d$ $P(d < x) = P(d > x)$ $d < x$ $d > x$ $P(d \in [x, y]) > 0$ (또는 내가 착각하고 있습니까?).

그러나 우리가 어떻게 분포를 선택했는지를 고려할 때, 우리가 지금하는 일은 동전 던지기와 같습니다. 우리는 동전을 던지고 그것이 머리라면 봉투를 바꾸고 꼬리라면 봉투를 붙입니다. 내가 어디 틀렸어?

편집 3 :

알았어, 이제 알겠다 만약 우리가 의 확률 함수 를 에 기초한다면 (예를 들어, 우리는 범위의 균일 분포로부터 를 샘플링 한다면, 확률 는 무관하다 . $d$ $x$ $d$ $(1, 2 \cdot x)$ $P(d \in (x,y))$ $P(\text{correct decision}|d \notin (x,y))$

따라서 (확률 )이면 추측은 항상 이전과 동일합니다. 경우 하부 수 있지만, 및 보다, 보다 낮게 높은 확률 갖는 보다 높은 것보다 우리가 잘못된 결정 편중되도록이. 가 두 수보다 높은 경우에도 같은 추론이 적용됩니다 . $d \in (x,y)$ $p$ $x$ $d \notin (x,y)$ $d$ $x$ $x$ $x$

즉 , 독립적으로 를 그리는 과정을 선택해야합니다 . 다시 말해, 우리는 와 가 그려지 는 분포의 매개 변수에 대해 추측해야합니다 . 최악의 상황은 우리가 여전히 무작위로 추측한다는 것입니다. 그러나 가장 좋은 일은 우리의 추측이 정확하다는 것입니다. 어떻게 이런 일이 더 추측보다 더해야한다 "x와 y는, 내 생각, 적어도 1이됩니다 $ 하지만, 대부분 10 $ , 그렇다면 , 우리가 그것을 유지하고, 그렇지 않으면, 우리는 그것을 교환"나는 아직까지입니다 보다. $d$ $x$ $x$ $y$ $x > 5$

나는 Wapner의 책에있는 문제의 팝업 공상 과학 제제 (에 의해 오도 된 : 수학 크리스탈 볼의 호기심 예기치 않은 기대 하는 상태)

"어쨌든 임의의 양의 정수를 선택하십시오."(Wapner는 기하 분포를 제안합니다-첫 번째 머리가 나올 때까지 동전을 던지고 경우 프로세스를 반복합니다 ) " 더 높게 추측하고 추측 이면 (...) 는 시간의 50 % 이상을 정확하게 가리 키기 때문에 시간의 50 % 이상을 정확하게 추측 할 것입니다 ! " $d=x$ $d > x$ $d < x$ $d$

probability paradox

— 일월
소스

1

매우 밀접한 관련 : stats.stackexchange.com/questions/95694

— whuber

2

이것은 다음과 같은 점에서 두 봉투 문제와는 상당히 다릅니다. 블랙웰의 베팅에 대해 Wapner가 제공 한 것이 맞습니다.

— Matthew Gunn

봉투의 금액이 일련의 숫자 S의 임의의 요소 인 경우 Wapner의 전략이 작동하기에 충분하고 필요한 조건은 S에서 엄격하게 증가

— 시키기로

그래, 나는 여전히 뭔가를 놓치고있다-EDIT 2를 참조하십시오. 그러나 우리가 동전을 던질 수 있고 추론에 따라 여전히 작동 해야하는 것처럼 보입니다. 내가 어디 틀렸어?

— 1 월

8

$A$ $2A$

일부 요점 :

임의의 정수를 균일하게 선택할 수 는 없지만 인용 된 부분은 균일하지 않아도됩니다. 유한 값을 초과 할 확률이있는 한 분포를 선택하십시오 (인수에 대한 것이 중요하지 않음).
$d$ $d=x$
$d$

* (균일하게 임의의 음이 아닌 정수 또는 균일하게 임의의 양의 정수를 선택할 수 없음)

$M$ $d$ $1...M$ $E_y$ $x<M/2$ $E_x$ $x>M/2$

$x$ $M/2$

그러나 내가 처음으로 본이 게임의 버전은 게임에서 발생하는 수입을 최소화하고자하는 사람이 봉투를 제시한다는 것입니다. 배포를 사용하여 다른 엔벨로프로 전환할지 여부를 결정하는 전략은 해당 인스턴스에서 계속 작동합니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스

d

$d$

P (d < x) = P (d > x)

$P(d < x) = P(d > x)$

P (d < x) = P (d > x)

$P(d<x)=P(d>x)$

d

$d$

전략을 x의 함수로 만들면 d가 x와 y 사이에있을 때 올바른 선택을 할 수 있다는 이점을 얻지 못합니다. 게임에서 승리하는 방법을 정의하고 있습니다. 만약 당신이 링크가 그러한 전략이 효과가 있다고 주장한다면, 그것은 틀렸을 것입니다

— Glen_b-복지국 Monica

d

$d$

x

$x$

P (d \in (x, y)) > 0

$P(d \in (x,y)) > 0$

x

$x$

(1, 2 \cdot x)

$(1, 2 \cdot x)$

d \in (x, y)

$d \in (x,y)$

— 1 월

7

와프 너의 주장은 맞습니다!

일부 의견 :

$x < d$ $d$
$d$
특정 상황 (예 : 관찰 범위가 넓을수록 큰 범위를 가질 가능성이 높음)에서 차단 전략이 최적입니다.
보다 일반적인 베이지안 설정에서는 여러 이전의 단순한 컷오프 전략보다 더 잘 수행 할 수 있습니다.

블랙웰의 내기

일부 의견 :

관련이 있지만 다른 문제 :