사건이“결국 일어난다”는 것은 무엇을 의미 하는가?

초기 상태 를 사용하여 정수 에서 1 차원 랜덤 워크를 고려하십시오 . $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

여기서 증가 값 는 IID이므로 입니다. $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

그것을 증명할 수 있습니다 (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

아래 첨자는 초기 위치를 나타냅니다.

하자 상태로 제 1 통로의 시간이 될 . 즉, 입니다. 또한 (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

두 가지 증명 모두 http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf 에서 찾을 수 있습니다 . 기사를 읽음으로써 두 가지 증거를 모두 이해합니다.

그러나 나의 질문은 "결국"의 의미가 첫 번째 진술뿐만 아니라 일반적으로 무엇인지에 관한 것이다. "결국 적으로"어떤 일이 발생하면 유한 한 시간 안에 일어날 필요는 없습니까? 그렇다면, 일어나지 않는 것과 "결국에"일어나지 않는 것의 차이점은 무엇입니까? 어떤 의미에서 진술 (1)과 (2)는 저에게 모순됩니다. 이와 같은 다른 예가 있습니까?

편집하다

그냥 질문, 즉, "결국"일이 무언가의 간단한 예를 들어 의욕을 추가하고 싶지만와 유한 예상 대기 시간.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

따라서 우리는 워커가 "결국"왼쪽으로 이동할 것이며, 그렇게하기 전에 예상되는 대기 시간 (즉, 왼쪽으로 이동)은 입니다. $1/(1/2)=2$

"결국"발생하지만 무한한 "대기 시간"으로 발생하는 것을 보는 것은 제 상상력에 상당히 도움이되었습니다. @whuber의 응답의 후반부는 또 다른 좋은 예입니다.

— 예 티안
소스

결국 유한 한 시간을 의미하지 않습니다. 정확히 대조되는 것입니다 : P는 유한하지만 타우에 대한 기대는 무한합니다

— seanv507

Cauchy 배포판 en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution 의 정식 예제가 있습니다.

— seanv507

@ seanv507-그렇습니다. Cauchy 분포의 평균은 무한한 것이 아니라 정의되지 않았지만 (Cauchy dbn의 샘플 평균은 이 + Infinity로 꾸준히 모이지 않고 무한대에 가까워 질수록 뛰어납니다 ). 파레토 분포 ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution )를 생각하고 있는데,이 매개 변수는 모양 매개 변수 때 mean = Infinity 이지만 아직 잘 정의 된 확률 분포 함수를 가지고 있습니다.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF 감사합니다-나는 파레토라고

— 말해야합니다

이 모든 약간의 편안함이있다 : 만약 , 다음 하지만, 다른 방법은 주위에.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Alex R.

답변:

"결국 발생하는"이벤트를 어떻게 설명 하시겠습니까? 가상의 상대와 생각 실험을 수행합니다. 상대방은 양수 도전 할 수 있습니다 . 시간 의해 이벤트가 발생할 확률이 이상인 (대부분 따라 다름 )을 찾을 수 있으면 이깁니다. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

이 예에서 " "은 임의의 보행 중 하나의 상태와 전체 임의의 보행 자체를 모두 사용하기 때문에 잘못된 표기법입니다. 차이를 인식하도록주의합시다. "Reachs finally "는 모든 랜덤 워크 집합의 하위 집합을 의미합니다 . 각 도보 에는 무한히 많은 단계가 있습니다. 시간 에서 의 값 은 입니다. " 는 시간 의해 에 도달한다 "는 시간 의해 상태 에 도달 한 도보 의 의 서브 세트를 의미한다 $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ . 엄격하게 세트입니다

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

가상의 상대에 대한 귀하의 답변으로 귀하는 다음 과 같은 속성을 가진 을 전시 하고 있습니다. $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

은 임의적 이므로 세트의 모든 요소를 사용할 수 있습니다 $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(그 리콜 및 존재하는 경우에만 한정 대 때문에 존재하지 이 조합에 포함 된 무한 수.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

게임에서 이길 수있는 능력은이 조합이 이 아무리 작더라도 형식의 모든 값을 초과 할 확률을 보여줍니다 . 결과적 으로이 확률은 이상 이므로 같습니다 . 그러면 당신은 $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

"최종 결과"와 무한한 예상 첫 통과 시간 사이의 차이점을 이해하는 간단한 방법은 간단한 상황을 고려하는 것입니다. 자연수에 대해서는 시퀀스로 둡니다. $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

여기서 0은 1의 끝없는 문자열로 이어집니다. 다시 말해, 이것은 출발점에 머무르고 일부 (유한 한) 시간에 점 으로 이동 한 다음 영원히 머무르는 산책입니다 . $n$ $1$

하자 모든들의 집합이 이산 대수와 시그마. 다음을 통해 확률 측정 값 할당 $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

이것은 이 에 해당하는 시간 까지 로 점프 할 수 있도록 설계되었으며 , 이는 분명히 임의로 가깝게 접근 합니다. 당신은 게임에서 이길 것입니다. 점프는 결국 발생하며, 그렇게되면 유한 한 시간이됩니다. 그러나 예상되는 시간은 생존 함수의 합입니다 ( 시간 점프 하지 않았을 가능성을 제공합니다 ). $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

분기합니다. 점프하기 전에 오랫동안 기다릴 가능성이 비교적 높기 때문입니다.

— 우버
소스

첫 번째 섹션을 엡실론 / 델타 인수로 끓여서 기본적으로 이라고 말하면 오해하고 있습니까 ( 은 단계 후 일부 이벤트의 확률입니다 ) ?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpm 그것은 단지 졸이다하지 않습니다 : 그것은 이다 엡실론 - 델타 인수. 이 경우 "델타"는 " "이고 "epsilon"은 확률임을 상기시켜주는 " "로 작성 됩니다. 여기서의 강조 는 의 유한성 에 있습니다 . 한계는 무한 값이 아닌 유한 값과 유한 연산의 관점에서 정의됩니다.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

underbrace 설명에 사용을 제안한 익명의 사용자에게 감사드립니다 .

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

그 일이 결국 일어난다는 것은 어떤 일이 발생하는 시점이 있다는 것을 의미하지만 그 일이 발생하기 전에 지정된 특정 시간을 언급하지 않는다는 의미가 있습니다. 3 주 안에 어떤 일이 일어날 것이라고 말하면, 그것이 결국 일어날 것이라는 것보다 더 강력합니다. 결국에는 "3 주"또는 "30 억 년"또는 "1 분"과 같은 시간이 지정되지 않습니다.

— 마이클 하디
소스