기대

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하자 $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ 와 독립. 의 기대는 무엇입니까 $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ ?

쉽게 찾을 수 $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ 대칭성. 그러나 나는 의 기대를 찾는 방법을 모른다 $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ . 힌트를 제공해 주시겠습니까?

내가 지금까지 얻은 것

나는 를 찾고 싶었다 $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ 대칭. 그러나이 경우는경우와 다릅니다 $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ 때문에 $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ 는같지 않을 수 있습니다 $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ . 기대치를 찾기 위해 다른 아이디어가 필요합니다.

이 질문의 출처

수학 스택 교환 의 질문 은 의 단위 균일 랜덤 벡터 에 대한 $\|Ax\|_2^2$ 의 분산을 요구합니다 . 내 파생물은 답이 값에 크게 의존한다는 것을 보여줍니다 $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ 및 $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ 에 대한 $i \neq j$ . 이후

\sum_{나는 \neq 제이} 이자형 (\frac{{엑스}_{나는}^{2} {엑스}_{제이}^{2}}{({엑스}_{1}^{2} + \dots + {엑스}_{디}^{2})^{2}}) + \sum_{나는} 이자형 (\frac{{엑스}_{나는}^{4}}{({엑스}_{1}^{2} + \dots + {엑스}_{디}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$ 이며 대칭으로

의 값만 알면됩니다

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ 다른 기대치를 얻습니다.

— 마이클 하디
소스

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의 분포 는 카이 제곱 (및 특수한 감마의 경우)입니다. $X_i^2$

의 분포 는 베타이다. $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

베타의 정사각형을 기대하는 것은 어렵지 않습니다.

— Glen_b-복귀 모니카
소스

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이 답변은 @Glen_b의 답변을 확장합니다.

사실 1 인 경우 $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_n$ 독립적 표준 정규 분포 랜덤 변수는 그 제곱의 합을 갖는 카이 제곱 분포 갖는 $n$ 자유도. 즉,
${엑스}_{1}^{2} + \dots + {엑스}_{엔}^{2} \sim χ^{2} (엔)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

따라서 $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ 및 $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$ 입니다.

사실 2 : 만약 $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ 및 $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$ , 다음
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

따라서 $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$ .

사실 3 : 만약 $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$ , 다음
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ 및 $V ㅏ 아르 자형 (엑스) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

따라서

이자형 (와이) = \frac{1}{디}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$ 및

V ㅏ 아르 자형 (와이) = \frac{2 (디 - 1)}{디^{2} (디 + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

마지막으로,

이자형 ({와이}^{2}) = V ㅏ 아르 자형 (와이) + 이자형 (와이)^{2} = \frac{삼 디}{디^{2} (디 + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— 사용자 603
소스

1

@ NP-hard : 실제로이 질문에 대답하기 위해이 질문 을 한 것 같습니다 . 왜 그렇게 언급하지 않습니까?

— joriki

@joriki 감사합니다. 질문에 대한 링크를 추가하겠습니다.