UMP가 없을 때 거부 영역을 정의하는 방법은 무엇입니까?

선형 회귀 모형을 고려하십시오.

, $\mathbf{y}=\mathbf{X\beta}+\mathbf{u}$

, $\mathbf{u}\sim N(\mathbf{0},\sigma^2\mathbf{I})$

입니다. $E(\mathbf{u}\mid\mathbf{X})=\mathbf{0}$

대 하자 . $H_0: \sigma_0^2=\sigma^2$ $H_1: \sigma_0^2\neq\sigma^2$

추론 할 수 있습니다, 여기서입니다. 그리고어나 이얼 레이터 매트릭스의 일반적인 표기이다 , 종속 변수이며의 회귀. $\frac{\mathbf{y}^T\mathbf{M_X}\mathbf{y}}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-k)$ $dim(\mathbf{X})=n\times k$ $\mathbf{M_X}$ $\mathbf{M_X}\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}$ $\hat{\mathbf{y}}$ $\mathbf{y}$ $\mathbf{X}$

내가 읽고있는 책은 다음과 같습니다.

이전에 거부 영역 (RR)을 정의하는 데 어떤 기준을 사용해야하는지 물었고이 질문에 대한 답변을 확인했습니다 . 가장 중요한 것은 테스트를 가능한 한 강력하게 만든 RR을 선택하는 것이 었습니다.

이 경우 대안이 양자 복합 가설이므로 일반적으로 UMP 테스트는 없습니다. 또한,이 책에 주어진 답변으로, 저자들은 그들이 RR의 힘에 대한 연구를했는지 보여주지 않습니다. 그럼에도 불구하고 그들은 양측 RR을 선택했습니다. 가설이 '일방적으로'RR을 결정하지 않기 때문에 왜 그런가?

편집 :이 이미지는 이 책 의 솔루션 매뉴얼에 4.14 실습 솔루션입니다.

— 바다의 노인.
소스

책에 대한 참조를 추가하십시오. 관련 : 비대칭 널 분포 두 꼬리 시험에서 P-값 .

— Scortchi-Monica Monica 복원

@Scortchi 링크 주셔서 감사합니다. 이 질문에 대해 물어봐도 될까요? 재미 있습니까? 흥미로운 질문을하고 있는지 또는 다른 분야에 관심을 가져야하는지 평가하려고합니다.

— 바다에 사는 노인.

모든 사람이 물론 이론을 흥미롭게 생각하는 것은 아니지만 일부 사람들은 (나를 포함하여) & 우리는 태그mathematical-statistics 가 거의 2k qs 있습니다 . 그래서 좋은 q. IMO. 그것은이다 조금 넓은하지만 좋은 대답은 다양한 접근 방법 및 고려 사항을 조사 것이라고 생각, 동기를 예를 많이하는 데 도움이됩니다. (나는 가능한 한 간단한 예를 선택했습니다. 평균이 알려진 정규 분포의 분산 또는 지수 분포의 평균에 대한 검정을 테스트하십시오.) .]

— Scortchi-Monica Monica 복원

의견을 보내 주셔서 감사합니다. 때때로 나는 이것을 스스로 연구하고 있기 때문에 질문을 잘 구성하는지 확실하지 않습니다.

— 바다에있는 노인.

M_{X}

$M_X$

답변:

$T=\sum z^2$ $z$ $\sigma^2_0$ $n$

$\sigma=\sigma_1$ $\sigma=\sigma_2$ $T$ $\sigma_2 > \sigma_1$

$ℓ (σ_{2}; T, n) - ℓ (σ_{1}; T, n) = \frac{n}{2} \cdot [\log (\frac{σ_{1}^{2}}{σ_{2}^{2}}) + \frac{T}{n} \cdot (\frac{1}{σ_{1}^{2}} - \frac{1}{σ_{2}^{2}})]$ $\ell(\sigma_2;T,n)-\ell(\sigma_1;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) + \frac{T}{n} \cdot \left(\frac{1}{\sigma_1^2} - \frac{1}{\sigma_2^2}\right) \right]$ $T$ $\sigma_2>\sigma_1$

$H_0:\sigma=\sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$ $\sigma>\sigma_0$ $\sigma<\sigma_0$

$\sigma=\hat\sigma$ $\sigma$ $\sigma=\sigma_0$

$\hat\sigma^2=\frac{T}{n}$
$ℓ (\hat{σ}; T, n) - ℓ (σ_{0}; T, n) = \frac{n}{2} \cdot [\log (\frac{n σ_{0}^{2}}{T}) + \frac{T}{n σ_{0}^{2}} - 1]$ $\ell(\hat\sigma;T,n)-\ell(\sigma_0;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{n\sigma_0^2}{T}\right) + \frac{T}{n\sigma_0^2} - 1 \right]$

$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$ $H_0:\sigma = \sigma_0$ $T$

$\sigma$

$\frac{d ℓ (σ; T, n)}{d σ} = \frac{T}{σ^{3}} - \frac{n}{σ}$ $\frac{\mathrm{d}\,\ell(\sigma;T,n)}{\mathrm{d}\,\sigma}=\frac{T}{\sigma^3} - \frac{n}{\sigma}$

$\sigma_0$ $H_0:\sigma=\sigma_0$ $H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$

$\alpha$ $\phi(T)= 1$ $T<c_1$ $T>c_2$ $\phi(T)= 0$

\begin{aligned} E (ϕ (T)) & = α \\ E (T ϕ (T)) & = α E T \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{E}(\phi(T)) &= \alpha \\ \operatorname{E}(T\phi(T)) &= \alpha \operatorname{E} T \end{align}$

플롯은 등 꼬리 영역 테스트의 편차와 발생 방법을 보여줍니다.

$\sigma$ $\sigma_0$

편견이없는 것이 좋습니다. 그러나 대안 내에서 매개 변수 공간의 작은 영역에 대한 크기보다 약간 작은 전력을 갖는 것이 테스트를 완전히 배제하는 것이 나쁘다는 것은 자명하지 않습니다.

위의 두 가지 테스트 중 두 가지가 일치합니다 (이 경우 일반적으로 아님).

LRT는 바이어스되지 않은 테스트 중 UMP입니다. 이것이 사실이 아닌 경우, LRT는 여전히 무증상 일 수 있습니다.

나는 모든 테일러 테스트조차도 받아 들일 수 있다고 생각한다. 즉, 모든 대안 에 대해 더 강력하거나 강력한 테스트는 없다 . 한 방향으로 만 대안에 대해 더 강력하게 만들 수있다. 방향. 표본 크기가 증가함에 따라 카이 제곱 분포가 더욱 대칭이되고 양쪽 꼬리 검정은 거의 동일하게됩니다 (쉬운 등 꼬리 검정을 사용하는 또 다른 이유).

복합 귀무 가설을 사용하면 인수가 조금 더 복잡해 지지만 실제로 동일한 결과를 얻을 수 있다고 생각합니다. 단측 테스트 중 하나는 아니지만 UMP입니다.

— Scortchi-복권 모니카
소스

답변 감사합니다. 그래도 여전히 의심의 여지가 있습니다. 먼저, 다음 문장에 대해 좀 더 자세히 설명해 주시겠습니까? «여러 비교 수정을 적용하면 양쪽 꼬리에 동일한 크기의 거부 영역이있는 일반적으로 사용되는 테스트가 이루어지며, 널을 거부 할 때 σ> σ0 또는 σ <σ0을 주장 할 때는 상당히 합리적입니다.» 또한 왜 합리적이라고 말합니까? 내가 실수하지 않으면 이것이 내 질문의 핵심이라고 생각합니다. ;)

— 바다의 노인.

나는 당신이 연결된 답변 에서이 단락을 읽었지만 그것을 잘 이해하지 못했습니다«최저 꼬리 p- 값을 두 배로 늘리는 것은 두 꼬리 꼬리 테스트를 수행하기위한 다중 비교 수정으로 볼 수 있습니다.» 좀 더 설명해 주시면 감사하겠습니다. ;)

— 바다의 노인.

α / 2

$\alpha/2$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

이 경우 대안이 양자 복합 가설이므로 일반적으로 UMP 테스트는 없습니다.

그것이 일반적인 것인지 확실하지 않습니다. 확실히, 많은 고전적 결과 (Neymon-Pearson, Karlin-Rubin)는 단순 또는 일측 가설을 기반으로하지만 양면 합성 가설에 대한 일반화가 존재합니다. 당신은 어떤이의 메모를 찾을 수 있습니다 여기에 교과서에서, 그리고 더 많은 논의 여기를 .

$\chi^2$

— 그린 파커
소스

σ_{0}

$\sigma_0$