사인과 코사인의 상관

가 에 균일하게 분포되어 있다고 가정 합니다. 및 이라고하자 . 와 의 상관 이 0 임을 보여줍니다 . $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

사인과 코사인의 표준 편차와 공분산을 알아야 할 것 같습니다. 이것을 어떻게 계산할 수 있습니까?

에 균일 한 분포가 있고 변환 된 변수 및 가 있다고 가정 합니다. 무의식 통계학 자의 법칙은 $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ 및

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

밀도는 균일 한 분포이므로 일정하므로 정수에서 벗어날 수 있습니다.

그러나 이러한 적분은 정의되어 있지 않지만 Cauchy 주값은 0이라고 생각합니다.

이 문제를 어떻게 해결할 수 있습니까? 나는 해결책을 알고 있다고 생각합니다 (사인과 코사인에는 반대 단계가 있기 때문에 상관 관계는 0입니다). 그러나 그것을 도출하는 방법을 찾을 수 없습니다.

— uklady
소스

명시된 바와 같이, 문제점이 불충분하게 정의되어 있습니다. 상관 관계는 함수가 아니라 임의 변수에 적용되는 개념입니다. (공식적으로, 랜덤 변수는 확률 공간에서 Borel 측정 값이있는 실수에 이르기까지 측정 가능한 함수의 일종입니다. 그러나 "사인 함수"라고 말하는 것만으로는 공동 분포를 포함하여 확률 정보를 얻는 영역입니다.)

— Kodiologist

시간이 균일 랜덤 변수 ( 텍스트에서 라고 가정 하면이 작업을 수행 할 수 없습니까? 그런 다음 변환 된 두 개의 임의 변수의 상관 관계를 살펴볼 것입니다.

X

$X$

— uklady

따라서 균일하게 분포시키고 및 ? 전체 또는 다른 긴 간격에 균일 한 분포가 없기 때문에 밀도 지원을 지정해야한다는 점을 제외하면 좋습니다 .

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiologist

어쩌면 를 지원으로 사용할 수 있습니다 ( 이라고 가정 하므로 간격에 하나의 전체 사이클이 포함됩니다). 통합 문제도 사라질 것 같습니다

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— uklady

그렇게하면 산점도 만 그려야하므로 통합이 필요하지 않습니다. 이 산점도는 단위 원에 균일 한 분포입니다 (분명히). 원은 원점을 통한 모든 반사에서 대칭이므로 상관 관계는 음의 값과 같지만 0이어야합니다 ( QED) .

— whuber

이후

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

상관도 0이어야합니다.

— 코디과
소스

나는 대칭에서 @whuber의 주장을 정말로 좋아하며 주석으로 잃어 버리지 않기를 바랍니다. 그래서 약간의 정교함이 있습니다.

랜덤 고려 벡터 , 여기서 , 및 에 대한 . 그런 다음 는 단위 원을 호 길이로 매개 변수화하기 때문에 는 단위 원에 균일하게 분포됩니다. 특히 의 분포는 의 분포와 동일합니다 . 하지만 $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

이어야합니다 . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

아름다운 기하학적 주장.

— 매튜 드 루리
소스