랜덤 변수의 값 범위가 제한된 경우 어떻게 정규 분포를 로 얻을 수 있습니까?

와 묶인 값 범위를 갖는 임의의 변수가 있다고 가정 해 봅시다 . 여기서 는 최소값이고 는 최대 값입니다. $a$ $b$ $a$ $b$

I 같이 들었다 , 여기서 우리의 샘플 크기는, 우리의 샘플의 샘플링 수단 분포 인 정규 분포. 우리가 증가함에 따라 즉, 우리가 점점 더 가까이 정규 분포를 얻을 수 있지만, 같은 실제 제한 입니다 동일한 정규 분포. $n \to \infty$ $n$ $n$ $n \to \infty$

그러나 정규 분포의 정의의 일부가 에서 로 확장되어야하는 것은 아닙니다 . $- \infty$ $\infty$

우리의 범위 중 최대 인 경우 (샘플의 크기에 관계없이)을 최대 샘플 평균은 동일하게 가고 및 최소 평균을 샘플 동일 . $b$ $b$ $a$

따라서 이 무한대에 가까워 질 때 한계를 가져도 분포 는 와 묶여 있기 때문에 실제 정규 분포 가 아닙니다 . $n$ $a$ $b$

내가 무엇을 놓치고 있습니까?

— 제레미 래드클리프
소스

답변:

여기 당신이 잃어버린 것이 있습니다. 점근 분포는 (샘플 평균)이 아니라 . 여기서 는 의 평균입니다 . $\bar{X}_n$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$ $\theta$ $X$

하자 되도록 랜덤 변수 일 IID 및 평균 갖는다 과 분산 . 따라서 는 지원을 제한했습니다. CLT는 라고 말합니다 $X_1, X_2, \dots$ $a < X_i <b$ $X_i$ $\theta$ $\sigma^2$ $X_i$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$

여기서 은 표본 평균입니다. 지금 $\bar{X}_n$

\begin{aligned} a < & X_{i} < b \\ a < & {\bar{X}}_{n} < b \\ a - θ < & {\bar{X}}_{n} - θ < b - θ \\ \sqrt{n} (a - θ) < & \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) < \sqrt{n} (b - θ) . \end{aligned}

$\begin{align*} a < &X_i <b\\ a < & \bar{X}_n <b\\ a-\theta < &\bar{X}_n - \theta < b - \theta\\ \sqrt{n}(a - \theta) < & \sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) < \sqrt{n}(b - \theta).\\ \end{align*}$

마찬가지로 , 하한 및 상한이 경향 및 각각 때문에 같은 의지지 는 실제 전체 라인입니다. $n \to \infty$ $-\infty$ $\infty$ $n \to \infty$ $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta)$

실제로 CLT를 사용할 때마다 라고 말하면 항상 근사치입니다. $\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n)$

편집 : 혼란의 일부는 중앙 한계 정리의 오해에서 비롯된 것 같습니다 . 표본 평균 의 표본 분포 가 것이 맞습니다

{\bar{X}}_{n} \approx N (θ, σ^{2} / n) .

$\bar{X}_n \approx N(\theta, \sigma^2/n).$

그러나 샘플링 분포는 유한 샘플 특성입니다. 당신이 말했듯이, 우리는 ; 일단 부호가 정확한 결과가 될 것입니다. 그러나 허용하면 더 이상 오른쪽에 을 가질 수 없습니다 ( 은 이제 이므로 ). 따라서 다음 문장은 잘못된 $n \to \infty$ $\approx$ $n \to \infty$ $n$ $n$ $\infty$

{\bar{X}}_{n} \overset{d}{\to} N (θ, σ^{2} / n) as n \to \infty .

$\bar{X}_n \overset{d}{\to} N(\theta, \sigma^2/n) \text{ as } n \to \infty.$

[여기서 는 배포 측면에서 수렴을 나타냅니다]. 우리는 결과를 정확하게 기록하기를 원하므로 은 오른쪽이 아닙니다. 이제 우리는 랜덤 변수의 속성을 사용하여 $\overset{d}{\to}$ $n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ) \overset{d}{\to} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \theta) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2)$

대수가 어떻게 작동하는지 보려면 여기 에서 답변을 보십시오 .

— 그린 파커
소스

감사합니다. 귀하의 불평등 대수를 이해하지만 여전히 첫 번째 단락에 대해 약간의 혼동이 있습니다. "점근 분포는 (샘플 평균)가 아니라 ... ". CLT는 표본 평균의 표본 분포가 로 정규 분포에 접근한다고 말했으며 은 크기가 인 표본의 모든 가능한 값을 취하는 RV 라고 생각했습니다 . 어디 않습니다 에서 온? 왜 우리는 의 배포가 아닌 그 배포에 관심이 있습니까?

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

n \to \infty

$n \to \infty$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

n

$n$

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - θ)

$\sqrt{n} (\bar{X}_n - \theta)$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

— jeremy radcliff

(계속) 표본 평균 분포의 정규화에 관한 것입니까? 이것이 제곱근의 출처입니까? 그것은 함께 할 수 있습니까 점수?

Z

$Z$

— jeremy radcliff

@jeremyradcliff 내 답변을 편집했으며 세부 정보를 설명하는 링크가 포함되어 있습니다. 이것이 더 의미가 있기를 바랍니다.

— Greenparker

시간을내어 편집 해 주셔서 감사합니다. 제공 한 링크는 제가 찾던 것입니다. 그리고 당신은 맞습니다, 문제는 샘플링 분포의 유한 한 특성과 우리가 을 로 가져 가고 있다는 사실을 조정하는 데 어려움을 겪고 있다는 것입니다 .

n

$n$

\infty

$\infty$

— jeremy radcliff

중심 한계 정리를 언급하는 경우이를 작성하는 적절한 방법은

$\left( \frac{\bar x - \mu} {\sigma} \right) \sqrt n \rightarrow_d N(0,1)$

정상적인 조건에서 ( 는 의 평균 및 표준 편차 임 ) $\mu, \sigma$ $x_i$

이 공식적인 정의를 사용하면 왼쪽 에 충분히 큰 주어지면 유한 범위의 값을 취할 수 있음을 즉시 알 수 있습니다 . $n$

"평균이 큰에 대한 정규 분포에 접근한다는 비공식적 인 아이디어에 대한에 연결하는 데 도움 , 우리가 실현해야 할"임의의 가까이에 CDF의 얻을 수단 "정규 분포에 가까워" 정규 분포와 같은 커질를. 그러나 이 커짐에 따라이 근사 분포의 표준 편차가 줄어들 기 때문에 근사 법선의 극한 꼬리 확률도 0이됩니다. $n$ $n$ $n$

예를 들어 이라고 가정하십시오 . 그런 다음 비공식 근사법을 사용하여 $X_i \sim \text{Bern}(p = 0.5)$

$\bar X \dot \sim N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right)$

따라서 유한 한 에 대해서는 $n$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) >0$

(근사값을 암시하는 것은 절대 완벽하지 않습니다), , $n \rightarrow \infty$

$P\left(N\left(p, \frac{p(1-p)}{n}\right) < 0\right) \rightarrow 0$

따라서 근사치 에서 발생하는 것처럼 실제 분포와 근사 분포 간의 불일치 가 사라집니다.

— 클리프 AB
소스