1과 2를 굴릴 확률이 1/18이라는 것을 어떻게 알 수 있습니까?

첫 번째 확률 수업 이후 다음에 대해 궁금해하고 있습니다.

확률 계산은 일반적으로 가능한 모든 이벤트에 대한 "인기 이벤트"의 비율을 통해 도입됩니다. 두 개의 6면 주사위를 굴릴 경우 가능한 이벤트의 양은 아래 표 참조).$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

따라서 이벤트 A "롤링 및 2 " 의 확률을 계산하는 데 관심이있는 경우 "선호하는 이벤트"가 두 개이고 이벤트의 확률을 \ frac {2} {36} = \ frac {1} {18} .$1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

이제, 항상 궁금해했던 것은 : 두 주사위를 구별하는 것이 불가능할 것이고 우리가 주사위를 굴린 후에 만 ​​관찰 할 수 있다고 가정 해 봅시다. 이 $1$ 과 $2$ ". 이 가상 시나리오에서 우리는 두 개의 주사위를 구별 할 수 없으므로이 관찰로 이어지는 두 가지 가능한 사건이 있음을 알 수 없습니다. 그런 다음 가능한 이벤트는 다음과 같습니다.

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

이벤트 A의 확률을 \ frac {1} {21} 로 계산합니다 $\frac{1}{21}$.

다시 한 번, 첫 번째 접근 방식으로 우리가 정답으로 인도 할 것이라는 사실을 완전히 알고 있습니다. 내가 묻는 질문은 다음과 같습니다.

우리는 어떻게 것을 알고 $\frac{1}{18}$ 맞습니까?

내가 생각해 낸 두 가지 대답은 다음과 같습니다.

• 경험적으로 확인할 수 있습니다. 내가 이것에 관심이있는 한, 나는 이것을하지 않았다는 것을 인정해야한다. 그러나 나는 그것이 사실이라고 믿습니다.
• 실제로 우리는 주사위가 하나의 검은 색과 다른 하나의 파란색과 같이 구별되거나, 다른 것보다 먼저 던지거나 가능한 사건 에 대해 알고 나서 모든 표준 이론이 작동 할 수 있습니다.$36$

당신에게 내 질문은 :

• 이 (가) 정확 하다는 것을 알아야하는 다른 이유는 무엇입니까 ? (적어도 기술적 인 이유가 있어야한다고 확신하며 이것이이 질문을 게시 한 이유입니다)$\frac{1}{18}$
• 주사위를 전혀 구별 할 수 없다고 가정하는 것에 대한 몇 가지 기본 주장이 있습니까?
• 주사위를 구별 할 수없고 실험적으로 확률을 확인할 방법이 없다고 가정하면 도 정확합니까, 아니면 내가 간과 했습니까?$P(A) = \frac{1}{21}$

내 질문을 읽을 시간을 내 주셔서 감사합니다. 구체적으로 말씀 드리겠습니다.

공정한 6 면체 주사위를 던져서 and을 받았다고 상상해보십시오. 그 결과는 매우 매력적이어서 친구 인 Dave를 불러서 그것에 대해 이야기했습니다. 그는 공정한 6 면체 주사위를 던질 때 얻을 수있는 것에 대해 호기심이 많았 기 때문에 던졌고 ⚁을 얻었습니다.

표준 다이에는 6 개의면이 있습니다. 당신은 다음 부정 행위를하지 않는 경우는, 동일한 확률로 각면에 토지 즉 에서 6 번. 다른 쪽과 마찬가지로 ⚀을 던질 확률은 $1$$6$ . 당신이 ⚀ 던져, 확률과, ⚁ 친구가 발생입니다$\tfrac{1}{6}$두 사건이독립적이므로독립 확률을 곱하기때문에 36 입니다. 다르게 말하면,쉽게 나열 할 수있는 그러한 쌍의36 가지배열이 있습니다 (이미 수행 한 것처럼). 반대 사건의 확률 (you을 던지고 친구가 ⚀을 던짐)도$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$ . 확률은 당신이 ⚀ 던질 것을,그리고당신의 친구가 발생 ⚁,또는당신은 ⚁ 던질 것을하고친구가 발생 ⚀이다독점적우리가 그들을 추가 할 수 있도록,$\tfrac{1}{36}$ . 가능한 모든 준비 중이 조건을 충족시키는 두 가지가 있습니다.$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

우리는이 모든 것을 어떻게 알 수 있습니까? 글쎄, 확률 , 조합론 및 논리에 근거 하지만,이 세가지에 의존하기 위해서는 사실적인 지식이 필요하다. 우리 는 수천 명의 도박꾼과 일부 물리학 의 경험 을 바탕으로 공정한 6 면체 주사위가 양쪽에 상륙 할 가능성이 있다고 믿을 이유가 없다는 것을 알고 있습니다. 마찬가지로, 우리는 두 개의 독립적 인 투구가 어떻게 든 관련되어 있고 서로 영향을 미쳤다고 의심 할 이유가 없습니다 .

1 에서 6 까지의 숫자 의 2 개 조합 (반복 포함)을 사용하여 레이블이 지정된 티켓 이 있는 상자를 상상할 수 있습니다 . 그 결과 가능한 결과 수가 21 개로 제한 되고 확률이 변경됩니다. 그러나 주사위라는 용어로 그러한 정의를 생각하면 어떻게 든 서로 붙어있는 두 개의 주사위를 상상해야합니다. 이것은 독립적으로 기능 할 수 있고 서로 영향을 미치지 않고 동일한 확률로 각면에 착륙 할 수있는 두 개의 주사위와는 매우 다릅니다.$2$$1$$6$$21$

그러나 그러한 모델 은 가능하지만 주사위와 같은 것은 불가능하다고 언급해야합니다 . 예를 들어, 경험적 관찰에 기초한 입자 물리학에서 구별 할 수없는 입자의 Bose-Einstein 통계량 ( 별과 막대 문제 참조)이 구별 가능한 입자 모델보다 더 적합한 것으로 나타났습니다 . Peter Whittle의 Expectation 을 통한 Probability 또는 Probability 또는 William Feller의 확률 이론 에 대한 소개 및 해당 응용 프로그램 중 하나 에서 이러한 모델에 대한 설명을 찾을 수 있습니다 .

"우리"가 주사위를 구별 할 수 있는지 아닌지는 중요하지 않다는 사실을 간과하고 있다고 생각합니다. 오히려 주사위가 독특하고 독특하고 자신의 행동에 따라 행동하는 것이 중요합니다.

닫힌 상자 시나리오에서 상자를 열고 1과 2를 볼 경우 주사위를 구별 할 수 없기 때문에 또는 ( 2 , 1 ) 인지 알 수 없습니다. 그러나 ( 1 , 2 ) 및 ( 2 , 1 ) 은 모두 동일한 시각, 즉 1과 2로 이어집니다. 따라서이 시각을 선호하는 두 가지 결과가 있습니다. 동일하지 않은 모든 쌍에 대해, 각각의 시각을 선호하는 두 가지 결과가 있으므로 36 가지 가능한 결과가 있습니다.$(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

수학적으로, 이벤트 확률의 공식은 이벤트

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

그러나이 공식 은 각 결과가 똑같을 때만 적용 됩니다 . 첫 번째 표에서 각 쌍은 똑같이 가능하므로 수식이 유지됩니다. 두 번째 표에서 각 결과는 똑같이 같지 않으므로 수식이 작동하지 않습니다. 표를 사용하여 답을 찾는 방법은

$(1,2)$$(2,1)$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

이것을 생각하는 또 다른 방법은이 실험이 다이 1과 다이 2를 발견 할 수있는 각 다이를 개별적으로 굴리는 것과 동일하다는 것입니다. 따라서 결과와 확률은 닫힌 상자 실험과 일치합니다.

첫 번째 시나리오는 하나의 빨간 주사위와 하나의 푸른 주사위를 굴리는 것과 관련이 있고, 두 번째 시나리오는 한 쌍의 흰 주사위를 굴리는 것과 관련이 있다고 상상해 봅시다.

첫 번째 경우 가능한 모든 결과를 (빨간색 다이, 파란색 다이)로 기록하면이 테이블 (질문에서 재현 됨)을 얻을 수 있습니다.

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ Our idealized dice are fair (each outcome is equally likely) and you've listed every outcome. Based on this, you correctly conclude that a one and a two occurs with probability $\frac{2}{36}$, or $\frac{1}{18}.$ So far, so good.

Next, suppose you roll two identical dice instead. You've correctly listed all the possible outcomes, but you incorrectly assumed all of these outcomes are equally likely. In particular, the $(n,n)$ outcomes are half as likely as the other outcomes. Because of this, you cannot just calculate the probability by adding up the # of desired outcomes over the total number of outcomes. Instead, you need to weight each outcome by the probability of it occurring. If you run through the math, you'll find that it comes out the same--one doubly-likely event in the numerator out of 15 double-likely events and 6 singleton events.

The next question is "how could I know that the events aren't all equally likely?" One way to think about this is to imagine what would happen if you could distinguish the two dice. Perhaps you put a tiny mark on each die. This can't change the outcome, but it reduces the problem the previous one. Alternately, suppose you write the chart out so that instead of Blue/Red, it reads Left Die/Right Die.

As a further exercise, think about the difference between seeing an ordered outcome (red=1, blue=2) vs. an unordered one (one die showing 1, one die showing 2).

핵심 아이디어는 두 개의 구별 가능한 주사위의 가능한 36 가지 결과를 나열하면 똑같이 가능한 결과 를 나열한다는 것입니다. 이것은 명백하지 않거나 공리적입니다. 주사위가 공평하고 어떤 식 으로든 연결되어 있지 않은 경우에만 해당됩니다. 구별 할 수없는 주사위의 결과를 나열하면, 그것들이 왜 그렇게되어야하는지 "왜냐면 복권 당첨"과 "복권 당첨 안 함"보다 더 많은 가능성이 있기 때문입니다.

결론을 내리려면 다음이 필요합니다.

• 우리는 6 개의 숫자가 모두 똑같이 가능한 공정한 주사위로 작업하고 있습니다.
• The two dice are independent, so that the probability of die number two obtaining a particular number is always independent of what number die number one gave. (Imagine instead rolling the same die twice on a sticky surface of some kind that made the second roll come out different.)

Given those two facts about the situation, the rules of probability tell you that the probability of achieving any pair $(a,b)$ is the probability of achieving $a$ on the first die times that of achieving $b$ on the second. If you start lumping $(a,b)$ and $(b,a)$ together, then you don't have the simple independence of events to help you any more, so you can't just multiply probabilities. Instead, you have made a collection of mutually exclusive events (if $a \neq b$)를 얻을 수 있으므로 확률을 안전하게 추가 할 수 있습니다. $(a,b)$ 과 $(b,a)$ 그들이 다르다면.

가능성을 세는 것만으로 확률을 얻을 수 있다는 아이디어는 동일한 확률과 독립성의 가정에 의존합니다. 이러한 가정은 실제로 거의 확인되지 않지만 거의 항상 교실 문제에서 확인됩니다.

이것을 동전으로 번역하면 (두 개의 구별 할 수없는 동전을 뒤집어 두는 것) 두 가지 결과, 두 가지 꼬리, 두 가지 꼬리, 각각 1 개씩 만 문제가되고 문제를 쉽게 발견 할 수 있습니다. 동일한 논리가 적용되며 2 개의 머리 또는 2 개의 꼬리를 얻는 것보다 각각 1 개를 얻을 가능성이 더 높습니다 .

그것은 두 번째 테이블의 미끄러짐입니다 . 첫 번째 테이블에서와 같이 모두 동일한 가중치의 확률 은 아니지만 가능한 모든 결과를 나타냅니다 . 두 번째 테이블의 각 행과 열이 의미하는 바를 철자하는 것은 잘못 정의되어 있습니다. 가능성에 관계없이 각 결과에 1 개의 상자가있는 결합 된 테이블에서만 의미가 있으며 첫 번째 테이블에는 "모든 다이 1의 결과는 똑같습니다. 각각의 행이 있고 열과 다이 2도 마찬가지입니다.

구별 할 수없는 주사위는 21 개의 가능한 결과 만 롤링하는 반면 구별 할 수있는 주사위는 36 개의 가능한 결과를 롤링하는 것으로 가정합니다.

차이를 테스트하려면 동일한 흰색 주사위 쌍을 얻으십시오. 육안으로 볼 수없는 자외선 차단제와 같은 자외선 흡수제로 코팅하십시오. 깨끗한 다이가 빛나고 코팅 된 다이가 검은 색으로 나타날 때, 검은 빛 아래에서 볼 때까지 주사위는 여전히 구별 할 수없는 것처럼 보입니다.

한 쌍의 주사위를 상자에 숨기고 흔 듭니다. 상자를 열 때 2와 1을 얻을 확률은 무엇입니까? 직관적으로 "1과 2를 굴리는 것"은 주사위를 구별 할 수 없기 때문에 가능한 21 가지 결과 중 하나 일 뿐이라고 생각할 수도 있습니다. 그러나 검은 빛 아래에서 상자를 열면 구별 할 수 있습니다 . 주사위를 구별 할 수있을 때, "1과 2를 굴리기"는 가능한 36 가지 조합 중 2 가지입니다.

그 검은 빛이 주사위 만 빛에 노출 관찰하는 경우에도, 어떤 결과를 얻을 확률 바꾸는 힘이 뜻 후 그들은 압연 봤는데을? 당연히 아니지. 상자 흔들림을 멈춘 후에는 주사위가 바뀌지 않습니다. 주어진 결과의 확률은 변할 수 없습니다.

원래 가정은 존재하지 않는 변경에 의존하기 때문에 원래 가정이 잘못되었다고 결론을내는 것이 합리적입니다. 그러나 구별 할 수없는 주사위는 21 개의 가능한 결과 만 굴 리거나 구별 가능한 주사위는 36 개의 가능한 결과를 굴린다는 원래의 가정은 어떻습니까?

분명히 검은 빛 실험은 관측이 확률 (적어도이 척도에서 양자 확률은 다른 문제)이나 물체의 구별에 영향을 미치지 않음을 보여주었습니다. "명백 할 수없는"이라는 용어는 단순히 관찰이 다른 것과 구별 할 수없는 것을 설명합니다. 다시 말해, 주사위는 어떤 상황에서는 동일하게 나타나고 (즉, 검은 빛 아래에 있지 않다는) 사실이 다른 두 가지가 아니라는 사실이 그들이 실제로 두 개의 별개의 물체라는 사실을지지하지 않습니다. 상황을 구별 할 수없는 상황이 발견되지 않더라도 이것은 사실입니다.

간단히 말해서, 특정 결과의 확률을 분석 할 때 롤링 주사위를 구별하는 능력은 무의미합니다. 각 다이는 고유합니다. 모든 결과는 관찰자의 관점이 아니라이 사실에 근거합니다.

두 번째 테이블이 시나리오를 정확하게 나타내지 않는다고 추론 할 수 있습니다.

(1, 2) 및 (2, 1)이 합리적이고 중복 된 결과라고 가정하여 대각선 아래 및 왼쪽의 모든 셀을 제거했습니다.

대신 하나의 주사위를 연속으로 두 번 굴린다 고 가정하십시오. 1-then-2를 2-then-1과 동일한 결과로 간주하는 것이 유효합니까? 분명히 아닙니다. 두 번째 롤 결과는 첫 번째 롤 결과에 의존 하지 않지만 여전히 뚜렷한 결과입니다. 재정렬을 중복으로 제거 할 수 없습니다. 이제 한 번에 두 개의 주사위를 굴리는 것은 하나의 주사위를 두 번 연속 굴리는 것과 동일합니다. 따라서 재배치를 제거 할 수 없습니다.

(아직 확신하지 않습니까? 여기에 비슷한 종류의 비유가 있습니다. 집에서 산 정상까지 걸어 가세요. 내일 걸어 가세요. 같은 날에 이틀에 시간이 있었습니까? 당신은 당신의 집에서 산의 정상으로 걸어 가고, 같은 날 다른 사람이 산의 정상에서 당신의 집으로 걸어 가고 있습니다 .. 그날 만나는 시간이 있습니까? 의 시간에 untangled 해당 이벤트에서 할 수 공제를 변경하지 않는 이벤트.)

우리가 방금 "누군가가 상자를 줘요. 상자를 엽니 다. $1$ 그리고 $2$"추가 정보 없이는 확률에 대해 아무것도 모릅니다.

두 개의 주사위가 공정하고 굴렀다는 것을 알고 있다면 다른 모든 대답에서 설명한 것처럼 확률은 1/18입니다. 1을 가진 주사위가 2를 가진 주사위를 먼저 굴 렸는지 알 수 없다는 사실은 중요하지 않습니다. 왜냐하면 두 가지 방법을 모두 고려해야하기 때문입니다. 따라서 확률은 1/36이 아닌 1/18입니다.

그러나 어떤 프로세스가 1-2 조합을 갖는지 알지 못하면 확률에 대해 아무것도 알 수 없습니다. 우리에게 상자를 건네 준 사람이 의도적으로이 조합을 선택하여 주사위를 상자에 붙였을 가능성이 있거나 (확률 = 1), 아니면 주사위를 굴리는 상자를 흔들었을 수도 있습니다 (확률 = 1/18). 질문에 제시 한 표에있는 21 가지 조합의 조합이므로 확률은 1/21입니다.

요약하면, 우리는 어떤 상황이 최종 상황으로 이어지는지를 알고 있기 때문에 확률을 알고 있으며, 각 단계의 확률 (각 주사위의 확률)을 계산할 수 있습니다. 우리가 그것을 보지 못하더라도 과정은 중요합니다.

답을 끝내기 위해 프로세스가 중요한 몇 가지 예를 들겠습니다.

• 우리는 10 개의 동전을 뒤집습니다. 열 번의 머리를 뛸 확률은 얼마입니까? 0과 10 사이에서 임의의 숫자를 선택하면 확률 (1/1024)이 10을 얻는 확률보다 훨씬 작다는 것을 알 수 있습니다.
• 이 문제를 즐겼다면 Monty Hall 문제를 시도해보십시오 . 프로세스가 우리의 직관이 기대하는 것보다 훨씬 중요한 문제와 비슷한 문제입니다.

사건 A와 B의 확률은 두 확률을 곱하여 계산됩니다.

6 개의 가능한 옵션이있을 때 1을 굴릴 확률은 1/6입니다. 6 개의 가능한 옵션이있을 때 2를 굴릴 확률은 1/6입니다.

1/6 * 1/6 = 1/36.

그러나 이벤트는 정시에 일정하지 않습니다 (즉, 2보다 먼저 1을 굴릴 필요는 없으며 1과 2를 두 롤로 롤링하는 것만 필요합니다).

따라서 1과 2를 구르고 1과 2를 구르는 조건을 만족 시키거나 2와 1을 구르고 1과 2를 구르는 조건을 만족시킬 수 있습니다.

2를 굴린 다음 1을 굴릴 확률은 동일한 계산을 갖습니다.

1/6 * 1/6 = 1/36.

A 또는 B의 확률은 확률의 합입니다. 이벤트 A가 1과 2를 굴리고 이벤트 B가 2와 1을 굴린다 고 가정하겠습니다.

사건 A의 가능성 : 1/36 사건 B의 가능성 : 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36로 1/18로 줄어 듭니다.