중앙 한계 정리 대 다수의 법칙

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중심 한계 정리는 이 무한대로 갈 때 iid 변수의 평균 이 정규 분포를 따릅니다. $N$

이것은 두 가지 질문을 제기합니다.

우리는 이것을 많은 수의 법칙으로 추론 할 수 있습니까? 많은 수의 법칙은 확률 변수의 값의 샘플의 평균은 실제 평균에 해당된다는 말한다면 으로 무한대 다음이 값이되고 있음 (중심 극한 말한대로) 그 말을 더 강해 보인다 여기서 는 표준 편차입니다. 그러면 중앙 제한이 많은 법칙을 암시한다고 말하는 것이 공정합니까? $\mu$ $N$ $\mathcal N(\mu, \sigma)$ $\sigma$
중심 한계 정리가 변수의 선형 조합에 적용됩니까?

probability central-limit-theorem law-of-large-numbers

— 사용자
소스

5

"중앙 한계 정리는

N

$N$ 이 무한대로 진행됨에 따라 iid 변수의 평균 이 정규 분포 를 따른다는 것을 나타냅니다"라는 주장 이 잘못되었습니다. 비슷한 문제를 일으키는 이 최근 질문에 대한 내 대답을 참조하십시오 . 그 질문에 대한 또 다른 답변이 게시되었지만 그 후 곧 삭제되었으며, 그 답변에 따른 토론도 이제 사라졌습니다.

— Dilip Sarwate

1

왜 모집단 평균의 샘플 평균 수렴 (A)에 샘플 평균 수렴보다 약한 결과 샘플 A로부터 분포?

μ

$\mu$

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu, \sigma)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate 신고 해 주셔서 감사합니다. 귀하의 의견은 IMO가 질문에 대한 오해를 충분히 밝히고 합리적인 답변이 나타난 것입니다.

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OP는 말합니다

중심 한계 정리는 N이 무한대로 갈 때 iid 변수의 평균이 정규 분포를 따릅니다.

I 그것이 OP 믿음임을 의미이 걸릴 것이다 IID 랜덤 변수 평균이 및 표준 편차 누적 분포 함수 의 는 의 누적 분포 함수 , 즉 평균 및 표준 편차 정규 랜덤 변수 수렴됩니다 . 또는 OP는이 공식의 사소한 재배치, 예를 들어 분포가 분포 또는 분포로 수렴한다고 생각합니다. $X_i$ $\mu$ $\sigma$ $F_{Z_n}(a)$

Z_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu,\sigma)$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

Z_{n} - μ

$Z_n - \mu$

N (0, σ)

$\mathcal N(0,\sigma)$

(Z_{n} - μ) / σ

$(Z_n - \mu)/\sigma$ 표준 정규 랜덤 변수 의 분포로 수렴 합니다. 이 문장들이 으로서 .

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

P {| Z_{n} - μ | > σ} = 1 - F_{Z_{n}} (μ + σ) + F_{Z_{n}} ((μ + σ)^{-}) \to 1 - Φ (1) + Φ (- 1) \approx 0.32

$P\{|Z_n - \mu| > \sigma\} = 1 - F_{Z_n}(\mu + \sigma) + F_{Z_n}((\mu + \sigma)^-) \to 1-\Phi(1)+\Phi(-1) \approx 0.32$

n \to \infty

$n \to \infty$

OP는 계속해서 말합니다

이것은 두 가지 질문을 제기합니다.

우리는 이것을 많은 수의 법칙으로 추론 할 수 있습니까? 큰 수의 법칙에 따라 임의의 변수 값 샘플의 평균이 N이 무한대로 갈 때 실제 평균 μ와 같다고 말하는 경우 (중앙 한계에서 알 수 있듯이) 값이 N ( μ, σ) 여기서 σ는 표준 편차입니다.

많은 수의 약한 법은 말한다 IID 확률 변수에 대한 유한 평균이 주어진, , 표준 편차가 유한하다고 가정 할 필요는 없습니다. $X_i$ $\mu$ $\epsilon > 0$

P {| Z_{n} - μ | > ϵ} \to 0 as n \to \infty .

$P\{|Z_n - \mu| > \epsilon\} \to 0 ~~ \text{as}~ n \to \infty.$

OP의 질문에 대답하기 위해

OP에 명시된 중앙 제한 정리 는 많은 수의 약한 법칙을 암시하지 않습니다 . 로 , 정리가 말한다 중심 극한의 OP의 버전 약한 법이 있다고하면서 $n \to \infty$ $P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0.317\cdots$ $P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0$
중심 한계 정리 의 정확한 진술로부터, 유한 평균 및 표준 편차를 갖는 랜덤 변수에 적용되는 많은 수의 약한 법칙의 제한된 형태만을 최상으로 추론 할 수있다. 그러나 많은 수의 약한 법칙은 유한 수단이지만 무한 표준 편차를 갖는 파레토 랜덤 변수와 같은 랜덤 변수에도 적용됩니다.
표본 평균 이 0이 아닌 표준 편차 로 정규 랜덤 변수에 수렴한다고 말하는 것이 표본 평균이 모집단 평균에 수렴한다고 말하는 것보다 더 강한 진술인 이유를 이해하지 못합니다 (또는 표준 편차 가 0 인 임의 변수) 너는 좋아한다).

— 디립 사르 베이트
소스

내 대답을 공감 한 사람이 내가 말한 것에 대해 불쾌감을 주거나 잘못한 것이 무엇인지 궁금합니다.

— Dilip Sarwate

7

큰 수의 법칙의 경우, 모든 확률을 동일한 확률 공간에 정의해야합니다 (대수의 법칙은 모든 대해 의해 결정된 이벤트 확률에 대한 설명 이므로 ). 분포의 수렴의 경우 확률 확률이 서로 다를 수 있으며 증거의 여러 측면을 단순화합니다 (예 : 중첩 공간 증가, 다양한 삼각 배열 증명에 매우 일반적). 그러나 그것은 또한 과 의 공동 분포에 관한 진술을 할 수 없다는 것을 의미합니다 . 따라서 모든 변수에 대해 공통 확률 공간이 없다면 분포의 수렴이 많은 수의 법칙을 의미하지는 않습니다. $\bar X_n$ $n$ $\bar X_n$ $\bar X_{n+1}$

— StasK
소스

(+1) 당신이 말하는 것은 사실이며 매우 중요한 포인트입니다. 삼각 배열을 사용하면 각 "행"의 변수가 이전 행과 다른 확률 공간에있을 수 있습니다. 반면에, 우리가 iid 랜덤 변수의 시퀀스를 고려하고 있다고 선험적으로 말하면, 독립 개념이 많은 의미를 갖기 위해 공통 기본 공간에 존재해야합니다.

— 추기경

@ cardinal : 모든 것을 동일한 공간에 정의하는 "간단한"경우에 내가 올바르게 이해하면 중심성이 많은 수의 법칙을 암시하는 경우입니까? 아니면 아니?

— user9097

@ user9097 우리가 지금 좋은 정보의 영역에 들어가기 때문에 에 대해 질문되고있는 많은 수의 법칙? 약한 법 또는 강한 법?

— Dilip Sarwate

그 시점에만 해당됩니다 많은 수의 강력한 법 하지 않는, 약한 법

— 할보 르센 kjetil B

4

$\sqrt{n}(\bar{X}_n-EX)$ $\mathcal N(0, Var(X))$ $\bar{X}$ $n$ $X$

$X$ $Y$

\sqrt{n} (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (a X_{j} + Y_{j}) - E (a X + Y)) \to N (0, V a r (a X + Y))

$\sqrt{n}(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(aX_j+Y_j) - E(aX+Y)) \to \mathcal N(0, Var(aX+Y))$

\sqrt{n} a ({\bar{X}}_{n} - E X) + \sqrt{n} ({\bar{Y}}_{n} - E Y) \to N (0, a^{2} V a r (X) + V a r (Y)) .

$\sqrt{n}a(\bar{X}_n- EX)+\sqrt{n}(\bar{Y}_n -EY) \to \mathcal N(0, a^2Var(X)+Var(Y)).$

다시 말해, 랜덤 변수의 선형 조합은 CLT 하에서 하나의 법선 인 법선의 선형 조합으로 수렴되지 않습니다. 임의 변수의 선형 조합은 CLT를 직접 적용 할 수있는 다른 임의 변수 일 뿐이므로 이치에 맞습니다.

— 다니엘 존슨
소스

1

{\bar{X}}_{n} = \sum_{i = 1}^{n} w_{n i} X_{i}

$\bar X_n = \sum_{i=1}^n w_{ni} X_i$

w_{n i} = 1 / n

$w_{ni} = 1/n$

i = 1, \dots, n

$i = 1,\ldots,n$ , 우리가 물을 수있는 당연한 질문은 이러한 "균일 한"무게를 다른 (더 임의적 인) 무게로 대체 할 때 어떤 일이 발생하는지입니다. CLT는 언제받을 수 있습니까? Lindeberg의 CLT를 사용하여이 질문에 답할 수 있습니다.

— 추기경

\sum_{j = 1}^{n} w_{n j} X_{j}

$\sum^n_{j=1}w_{nj}X_j$

w_{n j} = w_{j} / n

$w_{nj} = w_{j}/n$

w_{j}

$w_j$

w_{j}

$w_{j}$

w_{j} X

$w_jX$

w

$w$

n

$n$

1

E X = 0

$\mathbb E X = 0$

w_{j}

$w_j$

w_{1} = 1

$w_1 = 1$

w_{2} = 0

$w_2 = 0$

w_{j}

$w_j$

w_{j} = 0

$w_j = 0$

\sum_{i = 1}^{j} w_{i} / j \leq 1 / 4

$\sum_{i=1}^j w_i /j \leq 1/4$

\sum_{i = 1}^{j} w_{i} / j \geq 1 / 2

$\sum_{i=1}^j w_i /j \geq 1/2$

0

$0$

1

$1$

1 / 2

$1/2$

1 / 4

$1/4$

0

$0$

1

$1$