과학자들은 정규 분포 확률 밀도 함수의 모양을 어떻게 알아 냈습니까?

이것은 아마도 아마추어 질문 일 수도 있지만 과학자들이 정규 분포 확률 밀도 함수의 모양을 어떻게 얻었습니까? 기본적으로 버그는 누군가에게 정규 분포 데이터의 확률 함수가 종 곡선이 아닌 이등변 삼각형의 모양을 갖는 것이 더 직관적 일 것입니다. 정규 분포 데이터는 모두 종 모양입니까? 실험으로? 아니면 수학적으로 파생 된 것입니까?

결국 우리는 실제로 정규 분포 데이터를 어떻게 생각합니까? 정규 분포의 확률 패턴을 따르는 데이터 또는 다른 것?

기본적으로 내 질문은 왜 정규 분포 확률 밀도 함수가 다른 종 모양이 아닌 종 모양을 갖는 것입니까? 과학자들은 실험 또는 다양한 데이터 자체의 특성을 연구하여 정규 분포를 적용 할 수있는 실제 시나리오를 어떻게 파악 했습니까?

따라서이 링크 가 정규 분포 곡선의 기능적 형태를 도출하는 데 도움이되며 "정규 분포가 왜 다른 것처럼 보이지 않는가?"라는 질문에 답하는 데 실제로 도움이됩니다. 적어도 나에게는 진심으로 추론.

" 정규 분포의 진화 사울 스탈로는"거의 모든 게시물의 질문에 대답하는 정보의 최고의 소스입니다. 논문 내에서 자세한 토론을 찾을 수 있기 때문에 편의상 몇 가지 요점을 언급하겠습니다.

아마 아마추어 질문 일 것입니다

아닙니다. 통계를 사용하는 사람에게는 흥미로운 질문입니다. 표준 과정의 어느 곳에서도 자세하게 다루지 않기 때문입니다.

기본적으로 버그는 누군가에게 정규 분포 데이터의 확률 함수가 종 곡선이 아닌 이등변 삼각형의 모양을 갖는 것이 더 직관적 일 것입니다. 정규 분포 데이터는 모두 종 모양입니까?

이 그림을 종이에서보십시오. 실험 데이터를 분석하기 위해 Gaussian (Normal)이 발견되기 전에 Simpson이 제시 한 오차 곡선을 보여줍니다. 따라서 직감이 자리 잡고 있습니다.

실험으로?

그렇기 때문에 "오류 곡선"이라고 불렀습니다. 실험은 천문 측정이었다. 천문학 자들은 수세기 동안 측정 오류로 어려움을 겪었습니다.

아니면 수학적으로 파생 된 것입니까?

다시 그렇습니다! 간단히 말해 천문학적 데이터의 오류를 분석 한 결과 가우스는 그의 분포 (일명 정규 분포)로 이어졌습니다. 그가 사용한 가정은 다음과 같습니다.

그건 그렇고, Laplace는 몇 가지 다른 접근법을 사용했으며 천문학적 데이터로 작업하면서 분포도 생각해 냈습니다.

정규 분포가 실험에서 측정 오류로 표시되는 이유에 대해서는 물리학자가 제시하는 일반적인 "손으로 물결 치는"설명이 있습니다 (Gerter Bohm, Günter Zech, 물리학 자 통계 및 데이터 분석 p.85 의 인용문 ).

많은 실험 신호는 정규 분포와 매우 유사한 근사치를 따릅니다. 이는 많은 기여와 중심 한계 정리의 결과로 구성되어 있기 때문입니다.

당신은 당신의 질문에 정규 분포의 개념이 분포가 식별되기 전에 주변에 있었고 사람들이 그것이 무엇인지 알아 내려고 시도했다고 가정합니다. 그것이 어떻게 작동하는지 분명하지 않습니다. [편집 : "분포에 대한 검색"이 있다고 생각할 수있는 적어도 하나의 의미가 있지만 "많은 현상을 설명하는 분포에 대한 검색"이 아닙니다.]

그렇지 않다; 분포는 정규 분포라고 불리기 전에 알려졌습니다.

모든 정규 분포 데이터의 확률 밀도 함수가 종 모양을 가짐을 어떻게 그런 사람에게 증명할 것입니까

정규 분포 함수는 일반적으로 "종 모양"이라고하는 것입니다. 모든 정규 분포는 동일한 "모양"을 갖습니다 (규모와 위치 만 다름).

분포에서 데이터는 다소 "종 모양"으로 보일 수 있지만 이것이 정상적이지는 않습니다. 많은 비정규 분포는 유사하게 "종 모양"으로 보입니다.

데이터가 도출 된 실제 인구 분포는 실제로 는 결코 정상적이지는 않지만 때로는 상당히 합리적인 근사치입니다.

이것은 일반적으로 우리가 현실 세계에 적용하는 거의 모든 분포에 적용됩니다. 그것들은 세계에 대한 사실 이 아니라 모델 입니다. [예를 들어, 특정 가정 (포아송 프로세스에 대한 가정)을 만들면 널리 사용되는 분포 인 포아송 분포를 도출 할 수 있습니다. 그러나 이러한 가정은 정확히 충족 되었습니까? 일반적으로 (적절한 상황에서) 우리가 말할 수있는 최선은 그들이 거의 사실이라는 것입니다.]

실제로 정규 분포 데이터는 무엇을 고려합니까? 정규 분포의 확률 패턴을 따르는 데이터 또는 다른 것?

그렇습니다. 실제로 정규 분포를 얻으려면 표본을 추출한 모집단에 정확한 형태의 정규 분포를 갖는 분포가 있어야합니다. 결과적으로 유한 모집단은 정상일 수 없습니다. 반드시 경계 가 지정된 변수는 정상일 수 없습니다 (예 : 특정 작업에 소요되는 시간, 특정 사물 길이는 음수가 될 수 없으므로 실제로 정규 분포를 유지할 수 없음).

정규 분포 데이터의 확률 함수가 이등변 삼각형의 모양을 갖는 것이 더 직관적 일 것입니다

왜 이것이 더 직관적인지 모르겠습니다. 확실히 더 간단합니다.

오류 분포 (특히 초기 천문학)에 대한 모델을 처음 개발할 때, 수학자들은 오류 분포 (한 시점에서 삼각 분포 포함)와 관련하여 다양한 형태를 고려했지만이 작업의 대부분은 수학이었습니다. 직감보다) 사용되었습니다. Laplace는 예를 들어 이중 지수 및 정규 분포 (여러 가지 중에서)를 살펴 보았습니다. 마찬가지로 Gauss는 수학을 사용하여 거의 동시에 그것을 도출했지만 Laplace와는 다른 고려 사항과 관련이 있습니다.

Laplace와 Gauss가 "오류 분포"를 고려하고 있다는 좁은 의미에서, 적어도 한 번은 "분포 검색"으로 간주 할 수 있습니다. 둘 다 중요하다고 생각한 오류 분포에 대해 일부 속성을 가정했습니다 (Laplace는 시간이 지남에 따라 다소 다른 기준 시퀀스를 고려함).

기본적으로 내 질문은 왜 정규 분포 확률 밀도 함수가 다른 종 모양이 아닌 종 모양을 갖는 것입니까?

법선 밀도 함수라고 불리는 것의 기능적 형태는 그 모양을 제공합니다. 표준 법선을 고려하십시오 (간단 성을 위해 다른 모든 법선은 크기와 위치가 다른 동일한 모양을 가짐).

$k$

$x$

어떤 사람들은 정규 분포를 어떻게 든 "정상적인"것으로 간주했지만 실제로는 특정 상황에서만 발생합니다.

분포의 발견은 일반적으로 de Moivre (이항에 대한 근사값)로 인정됩니다. 그는 실제로 이분법 계수 (/ 이항 확률)를 근사한 계산에 근사하려고 할 때 기능적 형태를 도출했지만 정규 분포의 형태를 효과적으로 도출하는 동안 근사에 대해 생각하지 않은 것으로 보입니다. 확률 분포는 일부 저자는 그가 제안했다고 주장합니다. 어느 정도의 해석이 필요하므로 해석에 차이가있을 수 있습니다.

Gauss와 Laplace는 1800 년대 초에 작업을 수행했습니다. 가우스는 1809 년에 (평균의 중심이 MLE 인 분포와 관련하여) 1810 년에 라플라스 (Laplace)를 대칭 랜덤 변수의 합의 분포에 대한 근사치로 기록했습니다. 10 년 후 Laplace는 이산적이고 연속적인 변수에 대해 초기 형태의 중앙 제한 정리를 제공합니다.

분배에 대한 초기 이름은 포함 오류의 법 의 오류가 주파수의 법을 , 그리고 그것은 또한 때때로 공동으로, 라플라스와 가우스 모두의 이름을 따서 명명되었다.

"정상"이라는 용어는 1870 년대에 세 명의 다른 저자 (Peirce, Lexis 및 Galton)가 1873 년에 처음으로 1877 년에 다른 두 사람에 의해 독립적으로 분포를 설명하는 데 사용되었습니다. 이것은 Gauss와 드 모아 브르의 근사치 이후 Laplace와 두 배 이상. Galton은이를 사용했을 가능성이 가장 높았지만 1877 년 작업에서 주로 "정상"이라는 용어를 사용했습니다 (주로 "편차의 법칙"이라고 함).

그러나 1880 년대에 Galton은 분포와 관련하여 형용사 "정상"을 여러 번 (예 : 1889 년의 "정상 곡선"으로) 사용했으며, 이후 영국의 통계 학자 (특히 Karl Pearson)에게 많은 영향을 미쳤습니다. ). 그는 왜 이런 방식으로 "정상"이라는 용어를 사용했는지는 말하지 않았지만 아마도 "일반적인"또는 "일반적인"이라는 의미로 사용 된 것으로 추정됩니다.

"정규 분포"라는 구의 첫 번째 명시 적 사용은 Karl Pearson에 의한 것으로 보입니다. 그는 오래 전에 그것을 사용했다고 주장하지만 1894 년에 확실히 그것을 사용했습니다.

참고 문헌 :

Miller, Jeff
"일부 수학 단어 중 가장 알려진 것으로 알려진 사용법 :"
정규 분포 (John Aldrich의 항목)
http://jeff560.tripod.com/n.html

스탈, 사울 (2006),
"정규 분포의 진화",
Mathematics Magazine , Vol. 79, No. 2 (4 월), pp 96-113
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/stahl96.pdf

정규 분포 (2016 년 8 월 1 일).
위키 백과, 우리 모두의 백과 사전.
2016 년 8 월 3 일 12:02에서 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Normal_distribution&oldid=732559095#History 에서 검색 함

Hald, A (2007),
"De Moivre의 이항식에 대한 정규 근사치, 1733 및 일반화",
에서 : Bernoulli에서 Fisher까지의 파라 메트릭 통계적 추론의 역사, 1713-1935; pp 17-24

[귀하의 모 이브 르 계정과 관련하여 이러한 출처간에 상당한 불일치가있을 수 있습니다]

"정규"분포는 특정 분포로 정의 됩니다.

문제는 왜 우리가이 특정 분포가 본질적으로 공통적이라고 기대하고 왜 실제 데이터가 정확하게 그 분포를 따르지 않더라도 근사치로 사용 되는가? (실제 데이터는 종종 "뚱뚱한 꼬리"를 갖는 것으로 확인됩니다. 즉 평균에서 멀리 떨어진 값은 정규 분포가 예측하는 것보다 훨씬 일반적입니다.)

다시 말하면 정규 분포의 특별한 점은 무엇입니까?

법선에는 많은 "좋은"통계 속성이 있지만 (예 : https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem 참조 ) 가장 관련성이 높은 IMO는 주어진 평균과 분산. https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_entropy_probability_distribution

이것을 평범한 언어로 표현하기 위해 분포의 평균 (중심점)과 분산 (폭) 만 주어지고 그것에 대해 다른 것을 가정하지 않으면 정규 분포를 그려야합니다. 다른 정보는 정보 를 결정하기 위해 추가 정보 ( 예 : Shannon 정보 이론 의 의미에서 )가 필요합니다.

ET Jaynes는 베이지안 추론에서 합리적인 우선 순위를 결정하는 방법으로 최대 엔트로피의 원리를 도입했으며,이 속성에 관심을 갖는 것은 처음이라고 생각합니다.

자세한 내용은 다음을 참조하십시오. http://www.inf.fu-berlin.de/inst/ag-ki/rojas_home/documents/tutorials/Gaussian-distribution.pdf

정규 분포 (일명 " 가우시안 분포 ") 확고한 수학적 기초를 가지고있다. 중앙 한계 정리 ( Central Limit Theorem) 는 특정 평균과 분산을 갖는 유한 한 n 개의 독립적이고 동일하게 분포 된 랜덤 변수의 유한 세트를 가지고 있고 그 랜덤 변수의 평균을 취하면 결과 분포가 n으로 가우시안 분포로 수렴한다고 말합니다. 무한대로 간다. 수학적 도출이이 특정 분포 함수로 이어지고 다른 것은 없기 때문에 추측은 없습니다.

이를보다 실질적인 용어로 바꾸려면 공정한 동전 뒤집기 (예 : 2 개의 동일한 결과)와 같은 단일 랜덤 변수를 고려하십시오. 특정 결과를 얻을 확률은 머리의 경우 1/2, 꼬리의 경우 1/2입니다.

동전의 수를 늘리고 각 시행으로 얻은 총 머리 수를 추적 하면 대략 종 모양 의 이항 분포 를 얻을 수 있습니다. x 축을 따라 머리 수와 y 축을 따라 많은 머리를 뒤집은 횟수를 그래프로 나타내십시오.

동전을 많이 사용할수록 동전을 더 많이 뒤집을수록 그래프는 가우시안 종 곡선처럼 보입니다. 그것이 중앙 제한 정리가 주장하는 것입니다.

놀랍게도 정리는 랜덤 변수가 동일한 분포를 갖는 한 랜덤 변수가 실제로 분포되는 방법에 의존하지 않는다는 것입니다. 정리의 핵심 아이디어 중 하나 는 랜덤 변수를 추가 하거나 평균화 한다는 것 입니다. 또 다른 주요 개념은 정리는 랜덤 변수의 수가 증가함에 따라 수학적 한계 를 설명한다는 것 입니다. 더 많은 변수를 사용할수록 분포가 정규 분포에 가까워집니다.

수학자들이 정규 분포가 실제로 종 곡선에 대해 수학적으로 올바른 함수라고 판단한 경우 수학 통계 수업을 수강하는 것이 좋습니다.

이 글타래에 대한 훌륭한 답변이 있습니다. OP가 모든 사람이 대답하고 싶은 것과 같은 질문을하지 않았다는 느낌을 줄 수 없습니다. 그래도 이것이 가장 흥미로운 답변 중 하나에 가깝기 때문에 나는 그것을 얻었습니다. 누군가 "일반 PDF가 PDF라는 것을 어떻게 알 수 있습니까?"라는 질문을 받았기 때문에 실제로 그것을 찾았습니다. 나는 그것을 검색했다. 그러나 질문에 대한 대답은 정규 분포의 기원을 보여주는 것일 수 있습니다.

$n$$n$$np$$np(1-p)$$n\to\infty$

$n\to\infty$$p\to0$$np=1$

$n=10$$p=0.5$$n=100$$p=0.5$$n$

지금 당장 지상에 100 코인을 버리고 머리 수를 세면 머리 0 개를 세거나 머리 100 개를 세지 만 사이에 숫자를 세는 확률이 높습니다. 이 히스토그램이 종 모양이어야하는 이유를 알고 있습니까?

또한 두 가지 가정에서 독립 다변량 정규 분포의 Maxwell-Herschel 파생을 언급 할 것입니다.

1. 분포는 벡터의 회전에 영향을받지 않습니다.

2. 벡터의 구성 요소는 독립적입니다.

Jaynes 의 박람회는 다음과 같습니다.