두 개의 종속 다변량 정규 확률 변수의 선형 조합

두 개의 랜덤 변수 벡터가 있는데, 둘 다 정상입니다. 즉, 및 입니다. 우리는 선형 조합 의 분포에 관심이 있습니다. 여기서 와 는 행렬이고 는 벡터입니다. 경우 및 독립적으로, . 우리는 모든 쌍 의 상관 관계를 알고 있다고 가정하면 의존적 인 경우 입니다. 감사합니다. $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$ $A$ $B$ $C$ $X$ $Y$ $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_i, Y_i)$

소원, 이반

probability normal-distribution multinomial

— 이반
소스

답변:

이 경우 ( 편집 : 의 관절 정규성 가정 ) 그런 다음 및 즉

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

— 시안
소스

간과되는 경우 다른 답글에 대한 주석 스레드는 (a) 이러한 공분산 계산은 훌륭하지만 (자연 스럽지만 통계가없는 블록 행렬 표기법이 있음을 이해하지만) (b) 선형 조합이 일반적으로 유효하다고 결론을 내릴 수 없음을 나타냅니다. 우리가 추가 가정을 할 때까지 분배; 즉, 와 는 공동 다변량 정규 분포를 갖습니다 .

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

마지막 줄 에서 에서 까지 어떻게 도달했는지 설명해 주 시겠습니까? 생각했을 것이라고 및 결과는 더 이상 단순화되지 않습니다. 여기서 는 번째 요소는 이고 번째 요소는 이므로 대칭 행렬 이 아닙니다 . 이며 이러한 공분산이 동일한 이유는 없습니다.

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$

2 A Σ_{X Y} B^{T}

$2A\Sigma_{XY}B^T$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} = (A Σ_{X Y} B^{T})^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$

(i, j)

$(i,j)$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

(j, i)

$(j,i)$

cov (X_{j}, Y_{i})

$\text{cov}(X_j,Y_i)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate : (+1) 맞습니다. 일반적으로이 두 용어가 같은 이유는 없습니다.

— 시안

와 가 공분산 상단 오른쪽 블록 과 함께 분산되어 있다고 가정하지 않는 한 귀하의 질문에는 현재 제기 된 고유 한 답변이 없습니다 . 나는 당신이 X와 Y 사이에 각각의 공분산을 가지고 있다고 말했기 때문에 이것을 의미한다고 생각합니다.이 경우 우리 는 다변량 법선 인 를 쓸 수 있습니다 . 다음 측면에서 주어진 등 : $X$ $Y$ $\Sigma_{XY}$ $W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$ $W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

그런 다음 일반적인 조합을 선형 조합에 사용합니다. 평균은 변하지 않지만 공분산 행렬에는 $A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

— 확률 론적
소스

이 문제를 지적 해 주셔서 감사합니다. 실제로 생각조차하지 않았지만 변수가 실제로 구성 요소가 상관되어 있어도 공동 정규 분포로 볼 수있는 것으로 보입니다.

— Ivan

질문을 제기 한대로 해결할 수 없다는 데 동의합니다. 수 해결 될 간단한 방식으로 하나의 가정하면 것을, 시안의 대답은하지 @로, 와 공동으로 일반적으로 배포됩니다. 관절 분포가 관절 법선 이외의 것으로 지정되면 아마도 더 많은 어려움으로 해결할 수 있습니다. 그러나 단지 알고 모두를위한 , 것을 의미하지 않는다 정상 변수이다 . 모든 유한 차이와 두 확률 변수는 공분산 있습니다. 공분산은 정규 또는 공동 정규 랜덤 변수에 대해서만 정의되지 않습니다 .

X

$X$

Y

$Y$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

i, j

$i, j$ $W = (X^T,Y^T)^T$

— Dilip Sarwate

제 경우에는 X와 Y가 공동으로 정상입니다. 왜 그런지 설명하려고 노력할 것입니다. 잘못되면 수정하십시오. 독립적 인 일 변량 정규 rv 세트가 있다고 가정하십시오. X와 Y의 각 요소는 세트에서 이러한 일 변량 변수의 임의의 선형 조합입니다. 따라서 초기 변수는 독립적이며 선형 변환 만 포함되므로 결과 벡터 X, Y 및 Z는 모두 다변량 정규 rv입니다. 다변량 정규 rv의 정의를 따릅니다. 여기서 는 모든 벡터 대한 일 변량 정규 rv 여야합니다 . 말이 되나요?

a^{T} X

$a^T X$

a

$a$

— Ivan

@Ivan 당신의 설명은 이해가되지만 불만은 "우리는 , 및 "이것은 와 가 함께 정상 임을 의미하지 않습니다 . 도 아니다 "우리가 어떤 쌍의 상관 관계 알고 있다고 말합니까 것을 의미한다" 및 되어 공동으로 정상을 , 비록 당신이 올바르게 상태로 것을 의미한다 정상입니다 (및 와 유사 ) 일 변량 정규성

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$

X

$X$

Y

$Y$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i,Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$ 관절의 정상 성을 의미하지는 않습니다 . 아래 참조를 참조하십시오.

— Dilip Sarwate

@Ivan 이 질문에

— Dilip Sarwate