어떤 "평균"을 언제 사용해야합니까?

따라서 산술 평균 (AM), 기하 평균 (GM) 및 고조파 평균 (HM)이 있습니다. 그들의 수학적 공식은 관련 고정 관념과 함께 잘 알려져 있습니다 (예 : 조화 평균 및 '속도'관련 문제에 적용).

그러나 항상 저를 흥미롭게 한 질문은 "어떻게 어떤 맥락이 주어진 맥락에서 사용하기에 가장 적합한지를 결정합니까?"입니다. 적용 가능성을 이해하는 데 도움 이 되는 최소한의 경험 법칙 이 있어야 하지만 가장 많이 접하는 대답은 "의존" (그러나 무엇에 달려 있습니까?)입니다.

이것은 다소 사소한 질문처럼 보이지만 고등학교 교과서조차도 이것을 설명하지 못했습니다. 수학적 정의 만 제공합니다!

나는 수학적 설명보다 영어 설명을 선호합니다. 간단한 시험은 "엄마 / 아이가 이해할 수 있을까요?"

이 답변은 당신이 찾고있는 것보다 약간 더 수학적으로 구부러져있을 수 있습니다.

인식해야 할 중요한 것은이 모든 수단이 단순히 산술적 인 산술 수단이라는 것 입니다 .

세 가지 공통 수단 (산술, 기하 또는 고조파) 중 어느 것이 "올바른"인지 식별하는 데있어 중요한 특성은 해당 문제에서 "추가 구조"를 찾는 것입니다.

다시 말해 추상적 인 수량 이 주어 졌다고 가정하겠습니다 . 이것은 "측정"이라고 부르며, 일관성을 위해 아래에서이 용어를 다소 남용합니다. 이 세 가지 수단은 각각 (1) 각 를 일부 로 변환 하고 (2) 산술 평균을 취한 다음 (3) 원래 측정 척도로 다시 변환하여 얻을 수 있습니다.x i y $x_1, x_2,\ldots,x_n$$x_i$$y_i$

산술 평균 : 분명히 "identity"변환을 사용합니다 : . 따라서 단계 (1)과 (3)은 사소한 것이며 (아무 것도 수행되지 않음) 입니다.ˉ x A M = ˉ $y_i = x_i$$\bar x_{\mathrm{AM}} = \bar y$

기하 평균 : 여기에 추가 구조는 원래 관측치의 로그에 있습니다. 그래서 우리는 걸릴 단계에서 GM을 얻기 위해 다음 (3) 우리는의 역함수를 통해 다시 변환 , 즉, . log ˉ x G M = exp ( ˉ y$y_i = \log x_i$$\log$$\bar x_{\mathrm{GM}} = \exp(\bar{y})$

고조파 평균 : 여기에 가산 구조는 관측치 의 역수 에 있습니다. 그래서 , 어디서 .ˉ x H M = 1 / ˉ $y_i = 1/x_i$$\bar x_{\mathrm{HM}} = 1/\bar{y}$

물리적 문제에서 이러한 문제는 종종 다음 프로세스를 통해 발생합니다. 측정 및 과 같은 다른 수량과 관련하여 고정 된 수량 가 있습니다 . 이제 우리는 다음과 같은 게임을한다 : 와 일정하게 유지하고 각각 의 개별 관측 값 를 바꾸 더라도 "total"관계는 여전히 보존 되도록 를 찾는다 .x 1 , … , x n z 1 , … , z n w z 1 + ⋯ + z n ˉ x x i ˉ $w$$x_1,\ldots,x_n$$z_1,\ldots,z_n$$w$$z_1+\cdots+z_n$$\bar x$$x_i$$\bar x$

거리-속도-시각 예제가 널리 사용되는 것으로 보이므로 사용하십시오.

일정한 거리, 다양한 시간

고정 거리 이동 고려하십시오 . 이제이 거리 다른 속도로 하고 시간 한다고 가정 해 봅시다 . 우리는 이제 게임을한다. 총 시간이 일정하게 유지되도록 개별 속도를 고정 속도 로 바꾸고 싶다고 가정 해 봅시다 . 우리는 이므로 입니다. 게임에서 각 를 로 바꿀 때이 전체 관계 (총 시간 및 이동 거리)가 보존 되기를 원합니다 . 따라서 n v 1 , … , v n t 1 , … , t n ˉ v d − v i t i = $d$$n$$v_1,\ldots,v_n$$t_1,\ldots,t_n$$\bar v$∑ i ( d − v i t i ) = 0 v i ˉ v n d − ˉ v ∑ i t i =

$$d - v_i t_i = 0 \>,$$ $\sum_i (d - v_i t_i) = 0$$v_i$$\bar v$t i = d / v i ˉ v = $$n d - \bar v \sum_i t_i = 0 \>,$$ 각각의 이므로 $t_i = d / v_i$ $$\bar v = \frac{n}{\frac{1}{v_1}+\cdots+\frac{1}{v_n}} = \bar v_{\mathrm{HM}} \>.$$

여기서 "첨가 구조"는 개별 시간과 관련이 있으며 측정 값은 반비례하므로 고조파 평균이 적용됩니다.

다양한 거리, 일정한 시간

이제 상황을 바꿔 봅시다. 인스턴스에 대해 거리 걸쳐 속도 에서 고정 시간 를 이동 한다고 가정합니다 . 이제 전체 거리를 보존하려고합니다. 우리는 이면 전체 시스템이 보존됩니다 . 다시 우리의 게임을, 우리가 추구 등이 하지만, 이후 , 우리가 얻을 $n$$t$$v_1,\ldots,v_n$$d_1,\ldots,d_n$

$$d_i - v_i t = 0 \>,$$ $\sum_i (d_i - v_i t) = 0$$\bar v$ $$\sum_i (d_i - \bar v t) = 0 \>,$$ $d_i = v_i t$ $$\bar v = \frac{1}{n} \sum_i v_i = \bar v_{\mathrm{AM}} \>.$$

여기에서 우리가 유지하려고하는 추가 구조는 우리가 가지고있는 측정에 비례하므로 산술 평균이 적용됩니다.

동일한 볼륨 큐브

주어진 부피 로 차원 상자를 구성 했고 측정이 상자의 측면 길이라고 가정합니다. 그런 다음 , 같은 부피 의 차원 (하이퍼) 큐브 를 구성한다고 가정 합니다. 즉, 개별 측면 길이 를 일반적인 측면 길이 로 바꾸려고합니다 . 그런 다음 $n$$V$

$$V = x_1 \cdot x_2 \cdots x_n \>,$$ $n$$x_i$$\bar x$ $$V = \bar x \cdot \bar x \cdots \bar x = \bar x^n \>.$$

이는 을 가져야한다는 것을 쉽게 나타냅니다 .$\bar x = (x_i \cdots x_n)^{1/n} = \bar x_{\mathrm{GM}}$

추가 구조는 로그에 있습니다. 즉, 이며 왼쪽 수량을 보존하려고합니다.$\log V = \sum_i \log x_i$

옛날부터 새로운 수단

연습으로, 첫 번째 예에서 거리와 시간이 모두 달라지는 상황에서 "자연"의 의미가 무엇인지 생각해보십시오. 즉, 거리 , 속도 및 시간 있습니다. 우리는 이동 한 총 거리와 시간을 보존하고 이를 달성하기 위해 일정한 를 찾고 싶습니다 .v i t i ˉ $d_i$$v_i$$t_i$$\bar v$

연습 :이 상황에서 "자연스러운"의미는 무엇입니까?

@Brandon의 훌륭한 의견 확장 (답변하도록 홍보해야한다고 생각합니다) :

곱하기 차이에 관심이있는 경우 기하 평균을 사용해야합니다. Brandon은 범위가 다른 경우 기하 평균을 사용해야한다고 지적합니다. 이것은 일반적으로 맞습니다. 그 이유는 범위를 균등하게 만들고 싶어하기 때문입니다. 예를 들어, 대학 지원자가 SAT 점수 (0-800), HS (0-4)의 평균 점수 및 과외 활동 (1-10)에 등급이 있다고 가정합니다. 만약 대학이 이들을 평균화하고 범위를 균등화하기를 원한다면 (즉, 범위에 비해 각 질에서 체중 증가) 기하학적 평균이 갈 길입니다.

그러나 범위가 다른 스케일을 사용하는 경우 항상 그런 것은 아닙니다 . 우리가 다른 나라 (가난하고 부유 한 나라를 포함하여)에서 수입을 비교한다면, 우리는 아마도 기하 평균이 아니라 산술 평균 (또는 아마도 중간 또는 트림 된 평균)을 원할 것입니다.

고조파 평균으로 본 유일한 용도는 속도를 비교하는 것입니다. 예를 들어 : 당신은 40 MPH에서 보스턴 뉴욕에서 자동차와 경우 전체 평균은 60 MPH에 반환 하지 50 MPH의 산술 평균,하지만 조화 평균.

$(40 + 60)/2 = 50$$2/(1/40 + 1/60) = 48$

$240/5 = 48$

나는 이것을 3-4 규칙으로 정리하고 피타고라스 수단의 더 많은 예를 제공하려고 노력할 것입니다.

3 가지 평균 간의 관계는 약간의 차이가있는 음이 아닌 데이터의 경우 HM <GM <AM입니다 . 샘플 데이터에 전혀 변화가없는 경우에만 동일합니다.

레벨의 데이터에는 AM을 사용하십시오. 가격이 좋은 예입니다. 비율은 GM을 사용하십시오. 투자 수익, Bloomberg Billy 지수 (미국 가격 대비 다양한 국가의 Ikea Billy 책장 가격) ​​및 UN의 인간 개발 지수와 같은 상대 가격이 모두 예입니다. HM은 요금을 처리 할 때 적합합니다. David Giles가 제공 한 비 자동차 사례는 다음과 같습니다 .

예를 들어 "주당 근무 시간"(요금)에 대한 데이터를 고려하십시오. 각각 총 2,000 시간을 일하는 4 명 (샘플 관찰)이 있다고 가정합니다. 그러나 다음과 같이 주당 다른 시간 수로 작동합니다.

Person      Total Hours       Hours per Week          Weeks Taken
1                  2,000                  40                   50
2                  2,000                  45                   44.4444
3                  2,000                  35                   57.142857
4                  2,000                  50                   40

Total:           8,000                                       191.587297

세 번째 열의 값의 산술 평균은 주당 AM = 42.5 시간입니다. 그러나이 값의 의미에 유의하십시오. 표본 구성원 (8,000)이 일한 총 주 수를이 평균 값으로 나누면 4 명의 모든 주가 일한 총 주 수가 188.2353이됩니다.

이제 위 표의 마지막 열을보십시오. 실제로 샘플 멤버가 작업 한 총 주 수의 정확한 값은 191.5873 주입니다. 표의 세 번째 열에서 주당 시간 값에 대한 고조파 평균을 계산하면 HM = 41.75642 시간 (<AM)이되고이 숫자를 8,000 시간으로 나누면 총 수에 대해 191.5873의 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 몇 주 일했다. 고조파 평균이 샘플 평균에 대한 적절한 측정 값을 제공하는 경우입니다.

David는 또한 인플레이션을 측정하는 데 사용되는 가격 지수로 나타나는 3 가지 수단의 가중치 버전에 대해서도 설명합니다.

가로 채기 :

이 ROT는 완벽하지 않습니다. 예를 들어, 종종 무언가가 비율인지 비율인지 알아내는 것이 어렵다는 것을 알게됩니다. 투자 수익률은 일반적으로 평균을 계산할 때 비율로 처리되지만 일반적으로 "시간 단위당 x %"로 표시되기 때문에 비율입니다. "데이터가 단위당 레벨 일 때 HM을 사용하는 것"이 ​​더 나은 휴리스틱입니까?

북유럽 국가 의 Big Mac 지수 를 요약 하려면 GM을 사용 하시겠습니까?

귀하의 질문에 대한 가능한 대답은 (“어떤 평균이 주어진 맥락에서 사용하기에 가장 적합한지를 어떻게 결정합니까?”) 이탈리아 수학자 Oscar Chisini가 제공 한 평균의 정의입니다 .

다음 은 더 자세한 설명과 몇 가지 예 (평균 이동 속도 등)가 포함 된 논문입니다.

질문에 대답하는 간단한 방법은 다음과 같습니다.

1. 수학적 구조가 xy = k (변수 사이의 역관계)이고 평균을 찾고 있다면, 가중 산술 평균에 해당하는 고조파 평균을 사용해야합니다.

고조파 평균 = 2ab / (a ​​+ b) = a (b / a + b) + b (a / (a ​​+ b)

예를 들어, 투자하는 금액 (A)은 고정되어 있지만 주당 가격 (P)과 주식 수 (N)는 다양하므로 (A = PN) 달러 비용 평균화가이 범주에 속합니다. 실제로 산술 평균을 두 숫자 사이의 동일 중심 숫자로 생각하면 고조파 평균도 두 숫자 사이의 동일 중심 숫자이지만 "중심"은 백분율 (비)이있는 곳입니다. 같은. 즉 : (x-a) / a = (b -x) / b, 여기서 x는 고조파 평균입니다.

2. 수학적 구조가 직접 변동 y = kx 인 경우 산술 평균을 사용합니다.이 경우 고조파 평균이 줄어 듭니다.