주사위가 4가 아닌 다른 숫자가 될 때까지 굴립니다. 결과가 4보다 클 확률은 얼마입니까?

플레이어는 공정한 6 면체 주사위를받습니다. 이기려면 4보다 큰 숫자 (예 : 5 또는 6)를 굴려야합니다. 그녀가 4를 굴리면 다시 굴려야합니다. 그녀가 이길 확률은 무엇입니까?

이길 확률은 다음과 같이 재귀 적으로 표현 될 수 있다고 생각합니다 .$P(W)$

$$P(W) = P(r = 5 \cup r = 6) + P(r = 4) \cdot P(W)$$

나는 근사 한 로 같은 자바에서 100 만 개 시험을 실행하여 :$P(W)$$0.3999$

import java.util.Random;
public class Dice {

    public static void main(String[] args) {
        int runs = 1000000000;
        int wins = 0;
        for (int i = 0; i < runs; i++) {
            wins += playGame();
        }
        System.out.println(wins / (double)runs);
    }

    static Random r = new Random();

    private static int playGame() {
        int roll;
        while ((roll = r.nextInt(6) + 1) == 4);
        return (roll == 5 || roll == 6) ? 1 : 0;
    }
}

그리고 나는 다음과 같이 확장 할 수 있음을 알았습니다 .$P(W)$

$$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\right)...$$

그러나 나는 이런 종류의 근사에 의지하지 않고 이러한 유형의 재발 관계를 해결하는 방법을 모른다. 가능합니까?

대수를 사용하여 해결하십시오.

$$\begin{aligned} P(W) &= \tfrac 2 6 + \tfrac 1 6 \cdot P(W) \\[7pt] \tfrac 5 6 \cdot P(W) &= \tfrac 2 6 \\[7pt] P(W) &= \tfrac 2 5. \end{aligned}$$

참고 : 이것은 재발이 아니라 초기 질문에 대한 답변입니다.

그녀가 4를 굴린다면, 다음 롤이 독립적이기 때문에 본질적으로 계산되지 않습니다. 다시 말해, 4를 굴린 후에는 상황이 그녀가 시작했을 때와 동일합니다. 따라서 4를 무시할 수 있습니다. 그러면 중요한 결과는 1-3과 5-6입니다. 5 개의 뚜렷한 결과가 있으며 그 중 2 개가 이깁니다. 답은 2/5 = 0.4 = 40 %입니다.

dsaxton ( /stats//a/232107/90759 ) 및 GeoMatt22 ( /stats//a/232107/90759 ) 의 답변 은 문제에 대한 최상의 접근 방식을 제공합니다. 다른 표현은

$$P(W) = \frac13+\frac16\left(\frac13+\frac16(\cdots)\right)$$

실제로 기하학적 진행입니다 .

$$\frac13+\frac16\frac13+\frac1{6^2}\frac13+\cdots$$

일반적으로 우리는

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_0q^n = \frac{a_0}{1-q}$$

그래서 여기에 우리는

$$P(W) = \frac{\frac13}{1-\frac16} = \frac13:\frac56=\frac{6}{15}=\frac25.$$

물론, 기하학적 진행의 합에 대한 일반 공식을 증명하는 방법은 dsaxton과 유사하게 대수 솔루션을 사용하는 것입니다.

위의 모든 대답은 정확하지만 왜 정확한지, 왜 많은 세부 사항을 무시하고 복잡한 재발 관계를 해결할 필요가 없는지 설명하지 않습니다 .

그 이유 왜 다른 답변이 정확한지는이다 강력한 마르코프 속성 이산 마르코프 체인에 대한 일반 마르코프 속성에 해당합니다. https://ko.wikipedia.org/wiki/Markov_property#Strong_Markov_property

기본적으로 아이디어는 확률 변수가

$\tau:=($

A는 정지 시간 . https://en.wikipedia.org/wiki/Stopping_time 중지 시간은 미래 정보에 의존하지 않는 임의의 변수입니다 .

$n$$\tau=n$$\tau$

$\tau$$X_{\tau}$

$\tau -1$$\tau$$X_{\tau} > 4$

$$\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=1)=\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=2)=\dots = \mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=50,000,000)=\dots$$

$\tau=1$

$$\mathbb{P}(X_1>4|X\not=4) = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4 \cap X_1 \not=4)}{\mathbb{P}(X_1 \not= 4)} = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4)}{\mathbb{P}(X_1 \not=4)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}=\frac{2}{5}$$

Durrett 's Probability Theory and (4 판) Durrett 's Probability Theory and Examples , p. 의 섹션 8.3에서 중지 시간 및 Strong Markov 속성에 대한 자세한 내용을 읽을 수 있습니다 . 365.

문제를 보는 또 다른 방법.

'실제 결과'를 1,2,3,5 또는 6이라고 부를 수 있습니다.

'실제 결과'를 얻은 경우 첫 번째 롤에서 이길 확률은 얼마입니까? 2/5

두 번째 롤이 처음으로 '실제 결과'를 얻은 경우 두 번째 롤에서 이길 확률은 얼마입니까? 2/5

셋째, 넷째도 마찬가지입니다.

따라서 표본을 더 작은 표본으로 나눌 수 있으며 이러한 표본은 모두 같은 확률을 갖습니다.