회귀에 대한 자연 큐빅 스플라인 정의

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Hastie et al.의 "통계 학습 데이터 마이닝, 추론 및 예측의 요소"책에서 스플라인에 대해 배우고 있습니다. 145 페이지에서 자연 입방 스플라인이 경계 매듭 너머에 선형이라는 것을 알았습니다. 있습니다 매듭, 스플라인의 및 다음은이 스플라인의 스플라인에 대한 것입니다. $K$ $\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$

질문 1 : 4 자유도는 어떻게 자유롭게 되나요? 나는이 부분을 얻지 못한다.

질문 2 :의 정의에서 다음 $d_k(X)$ $k=K$ . 이 공식에서 저자는 무엇을하려고합니까? 이것이 스플라인이 경계 매듭 너머에 선형이되도록하는 데 어떻게 도움이됩니까? $d_K(X) = \frac 0 0$

— 두린
소스

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일반적인 입방 스플라인을 고려하여 시작하겠습니다. 그들은 매듭의 모든 쌍과 입방체 매듭 바깥 쪽의 입방체입니다. 첫 번째 큐빅 (첫 번째 경계 매듭의 왼쪽)에 대해 4df로 시작하고, 각 노트는 하나의 새로운 매개 변수를 추가합니다 (입방 스플라인과 파생물의 연속성 및 두 번째 파생은 세 개의 제약 조건을 추가하여 하나의 자유 매개 변수를 남김). 매개 변수 노트. $K+4$ $K$

자연스러운 큐빅 스플라인은 양쪽 끝이 선형입니다. 이것은 큐빅 및 2 차 파트를 0으로 제한하여 각각 df를 1 씩 줄입니다. 즉, 곡선의 두 끝에서 각각 2 df로 를 입니다. $K+4$ $K$

비모수 곡선 추정치에 총 자유도 ( )를 사용할 수 있다고 가정 해보십시오. 자연 스플라인을 적용하면 일반 큐빅 스플라인 (동일한 수의 매듭)보다 자유도가 4만큼 낮아 지므로 매개 변수를 사용하면 경계 매듭 사이의 곡선을 모델링하기 위해 4 개의 매듭 (및 더 많은 4 개의 매개 변수)을 가질 수 있습니다. . $p$ $p$
$N_{k+2}$ $k=1,2,...,K-2$ $K$ $N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$ $k$ $d_k$ $k=K-1$ $d_K$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

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$2$ $\xi_1, \xi_2$ $]-\infty, \xi_1[$ $]\xi_1, \xi_2[$ $]\xi_2, +\infty[$ $|I|=3$ $|I|-1=2$ 매듭).

(일반) 입방 스플라인

$4|I|=12$

1 (X < ξ_{1}); 1 (X < ξ_{1}) X; 1 (X < ξ_{1}) X^{2}; 1 (X < ξ_{1}) X^{3};

$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^2~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^3~~;$

1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}); 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{2}; 1 (ξ_{1} \leq X < ξ_{2}) X^{3};

$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$

1 (ξ_{2} \leq X); 1 (ξ_{2} \leq X) X; 1 (ξ_{2} \leq X) X^{2}; 1 (ξ_{2} \leq X) X^{3} .

$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^3.$

$\mathcal{C}^r$ $r=2$ $(r+1)\times(|I|-1) = 3\times(|I|-1) = 6$

$12-6=6$

자연스러운 큐빅 스플라인

" 자연적인 큐빅 스플라인은 추가 구속 조건을 추가합니다. 즉, 함수가 경계 매듭 너머에 선형입니다."

$4|I|-4=12-4$ $4$ $2$

1 (엑스 < ξ_{1}); 1 (엑스 < ξ_{1}) 엑스;

$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~$

1 (ξ_{1} \leq 엑스 < ξ_{2}); 1 (ξ_{1} \leq 엑스 < ξ_{2}) 엑스; 1 (ξ_{1} \leq 엑스 < ξ_{2}) {엑스}^{2}; 1 (ξ_{1} \leq 엑스 < ξ_{2}) {엑스}^{삼};

$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$

1 (ξ_{2} \leq 엑스); 1 (ξ_{2} \leq 엑스) 엑스 .

$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X.$

The constraints are the same as before, so we still need to add $3\times(|I|-1) = 6$ constraints on the linear coefficients.

We end up with $8-6=2$ degree of freedom.

— ahstat
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