"균일하게 이격 된"샘플에서 시작하여 장치 디스크의 회귀

단위 디스크에 대한 복잡한 회귀 문제를 해결해야합니다. 원래의 질문 은 흥미로운 의견을 불러 일으켰지 만 불행히도 대답은 없습니다. 그 동안이 문제에 대해 더 많은 것을 배웠으므로 원래 문제를 하위 문제로 나누고 이번에는 더 나은 운이 있는지 알아볼 것입니다.

장치 디스크 내부의 좁은 고리에 40 개의 온도 센서가 정기적으로 배치되어 있습니다.

이 센서는 시간에 따라 온도를 얻습니다. 그러나 시간 변동이 공간 변동보다 훨씬 작으므로 시간 변동을 무시하여 문제를 단순화하고 각 센서가 시간 평균 만 제공한다고 가정합니다. 즉, 40 개의 샘플 (각 센서 당 하나씩)이 있고 샘플을 반복하지 않습니다.

센서 데이터에서 회귀 표면 을 만들고 싶습니다 . 회귀에는 두 가지 목표가 있습니다.$T=f(\rho,\theta)+\epsilon$

1. 평균 방사형 온도 프로파일 을 추정해야합니다 . 선형 회귀를 사용하면 이미 평균 온도 표면 인 표면을 추정하므로 대해 내 표면 만 통합하면됩니다 . 회귀에 다항식을 사용하는 경우이 단계는 케이크 조각이어야합니다.$T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$$\theta$
2. 방사형 온도 프로파일 을 추정하여 각 방사형 위치에서 합니다.$T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$$P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$

이 두 가지 목표가 주어지면 단위 ​​디스크의 회귀에 어떤 기술을 사용해야합니까? 물론 가우시안 프로세스는 일반적으로 공간 회귀에 사용됩니다. 그러나 단위 디스크에 대한 좋은 커널의 정의는 사소한 것이 아니므로 전략을 잃고 있다고 생각하지 않는 한 간단하게 유지하고 다항식을 사용하고 싶습니다. Zernike 다항식 에 대해 읽었습니다 . Zernike 다항식은 주기적이므로 단위 디스크에 대한 회귀에 적합한 것으로 보입니다 .$\theta$

모델이 선택되면 추정 절차를 선택해야합니다. 이것은 공간 회귀 문제이므로 다른 위치의 오류는 서로 관련이 있어야합니다. 일반 최소 제곱은 상관되지 않은 오류를 가정하므로 일반 최소 제곱 이 더 적합 할 것입니다. GLS gls는 표준 R 분포에 함수 가 있다고 가정 할 때 비교적 일반적인 통계 기법으로 보입니다 . 그러나 GLS를 사용한 적이 없으며 의심의 여지가 있습니다. 예를 들어 공분산 행렬을 어떻게 추정합니까? 몇 개의 센서만으로도 해결 된 예가 좋습니다.

추신 : 나는 Zernike 다항식과 GLS를 사용하기로 결정했습니다. 그러나 나는 전문가가 아니며, 잘못된 방향으로 가고 있다고 생각하면 완전히 다른 접근법을 자유롭게 사용하십시오.

Zernike 다항식 과 같은 것을 생각할 때 올바른 길을 가고 있다고 생각합니다 . jwimberly의 답변에서 언급했듯이 이것들은 디스크 의 직교 기반 기능 시스템의 예입니다 . 나는 Zernike 다항식에 익숙하지 않지만, 많은 다른 직교 함수 (Bessel 함수 포함)는 고전 수학 물리학 에서 특정 부분 미분 방정식의 고유 함수 로 자연스럽게 발생합니다 (이 글을 쓰는 시점에서 링크의 맨 위에있는 애니메이션조차도 진동 드럼 헤드의 예를 보여줍니다).

두 가지 질문이 떠 오릅니다. 먼저, 방사형 프로파일 ( 평균) 만 있으면 공간 패턴에 어느 정도의 제약이 필요합니까? 둘째, 시공간 데이터에서 어떤 유형의 변동이 발생합니까?$\theta$

첫 번째 질문과 관련하여 두 가지 염려가 있습니다. 극좌표로 인해 각 센서의지지 영역의 추세는 입니다. 두 번째 관심사는 앨리어싱 (aliasing ) 가능성 , 즉 패턴의 위상과 관련하여 센서가 잘못 정렬 된 것입니다 (Fourier / Bessel 유추를 사용하기 위해). 앨리어싱은 피크 온도를 제한하는 데있어 주요 불확실성 일 것입니다 (예 : ).$r$$T_{95}$

이 두 번째 질문과 관련하여 데이터 변동성은 실제로 앨리어싱 문제를 해결하는 데 도움이 될 수 있으며 본질적으로 다른 정렬에서 오정렬을 평균화 할 수 있습니다. (체계적인 편견이 없다고 가정하면 ... 물리적 모델이 없으면 더 많은 정보를 제공하는 등의 방법이 문제가 될 수 있습니다).

따라서 센서 위치에서 공간 직교 함수를 순전히 정의 할 수 있습니다. 이러한 "실증 직교 함수" 는 시공간 데이터 매트릭스에서 PCA 를 통해 계산 될 수 있습니다 . (가변 센서 지원 영역을 설명하기 위해 약간의 가중치를 사용할 수 있지만, 균일 한 극좌표와 방사형 평균 목표를 고려할 때 이것은 필요하지 않을 수 있습니다.)

조밀 한 시공간 계산 그리드에서 사용 가능한 온도의 "예상"변화에 사용할 수있는 물리적 모델링 데이터 가 있는 경우 동일한 PCA 절차를 해당 데이터에 적용하여 직교 함수를 도출 할 수 있습니다 . (이를 모델 축소에 사용하는 엔지니어링에서는 일반적으로 " 적절한 직교 분해 " 라고합니다 . 예를 들어 고가의 계산 유체 역학 모델을 추가 설계 활동에 사용하기 위해 증류 할 수 있습니다.)

마지막으로지지 영역 (즉, 극 셀 크기)을 기준으로 센서 데이터에 가중치를 부여 할 경우 GLS 프레임 워크에서 대각선 공분산 유형이 됩니다. (가중 PCA는 밀접한 관련이 있지만 예측 문제에 더 적용될 것입니다.)

이게 도움이 되길 바란다!

업데이트 : 새로운 센서 분배 다이어그램은 내 견해에 따라 크게 변화합니다. 디스크 내부의 온도를 추정하려면 단순히 "장치 디스크의 직교 함수 세트"보다 훨씬 유익한 정보 가 필요합니다 . 센서 데이터에 정보가 너무 적습니다.

실제로 디스크에 대한 공간 온도 변화를 추정하려는 경우, 제가 알 수있는 유일한 방법은 문제를 데이터 동화의 하나로 취급하는 것입니다 . 여기서 물리 기반 고려 사항을 바탕으로 공간 분포의 파라 메트릭 형태를 적어도 제한해야합니다 (이것은 시뮬레이션 또는 유사한 역학을 가진 시스템의 관련 데이터에서 비롯 될 수 있음).

난 당신의 특정 응용 프로그램을 모르겠지만, 뭔가 같은 경우 이 , 나는 당신이 적절한 사전 제약 조건을 선택할 때 그릴 수 있다는 광범위한 엔지니어링 문학이 상상하는 것입니다. (그런 종류의 상세한 도메인 지식을 위해, 이것은 아마도 가장 좋은 StackExchange 사이트가 아닐 것입니다.)

Zernlike 다항식은 이미 과 의존성과 직교성이 요리되어 있기 때문에 나쁜 선택처럼 들리지 않습니다 . 그러나 온도를 연구하고 있기 때문에 아마도 더 적절하고 잘 알려진 선택은 Bessel 함수 입니다. 이것들은 원통형 물체 / 좌표계의 열 흐름 연구에서 나타나므로 물리적으로 더 적절할 가능성이 있습니다. n 번째 베셀 함수는 극 의존성에 대한 대응 삼각 함수와 관련된 방사상 의존성을 제공 할 것이다; 많은 물리학 및 PDE 교과서에서 세부 사항을 찾을 수 있습니다.$r$$\theta$