RV 로그의 예상 값이있는 경우 RV 자체의 예상 값을 얻을 수 있습니까?

그 가정 $\text{E}[\log(X)]$ 주어진, 나는 파생시킬 수 있습니까 $\text{E}[X]$ 닫힌 형식으로?

expected-value logarithm

— 테오 덴
소스

log x 또는 x 의 분포 를 알고 있습니까? 예 : 이다

x

$x$ 정규 분포? 가장 일반적인 경우

x

$x$ 임의의 분포에 따라 많은 것을 말할 수 없습니다.

— Matthew Gunn

아니오. log (x)의 평균값 만 제공됩니다.

— Theoden

당신이 말할 수있는 대부분은

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$ Jensen의 불평등 으로 인해 .

— Matthew Gunn

아니.

예를 들어 $X$ 로그 정규 분포를 따릅니다. $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ 그런 다음 $E[\log(x)] = \mu$ 그리고 독립적이다 $\sigma$ . 그러나 그 평균은 $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ . 분명히, 당신은 $\sigma$ 의 종속 번호 $\sigma$ 독립 번호.

— jwimberley
소스

말된다. 더 많은 정보가 필요합니다.

— Theoden

또는 매우 간단한 예를 들어, 불연속 랜덤 변수 X (확률 1/3은 확률 1/3, 10은 확률 2/3), Y (확률 1은 확률 2/3, 100은 확률 1/3)를 고려하십시오. . 그런 다음 E [log X] = E [log Y] = 1/3 (또는 로그가 10보다 더 현명한 기준을 취하지 만 기본 로그 100 = 2 로그 10 이후로 여전히 동일한 로그를 선호하는 경우 다른 숫자). 그러나 E [X]! = E [Y].

— Steve Jessop