순간 생성 함수 (MGF) 란 무엇입니까?

평신도의 용어로 간단하고 쉬운 예와 함께 설명 할 수 있습니까?

공식적인 수학 표기법을 최대한 사용하도록 제한하십시오.

이제 방정식이없는 직관 할 수없는 가정, 여전히에 무슨 일이 일어나고 있는지의 아이디어를 얻을 수있는 매우 필수로 수학 아래로 비등 주장하자 우리가 얻을하려는 통계 순간을 , 어떤에 의무적 참조 후 물리학 , 우리 는 랜덤 변수의 거듭 제곱의 기대 값으로 정의 합니다. 연속 랜덤 변수의 경우, 원시 번째 모멘트는 LOTUS입니다 .$k$

$$\begin{align}\large \color{red}{\mathbb{E}\left[{X^k}\right]} &= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{X^k}\,\,\color{green}{\text{pdf}}\,\,\,dx\tag{1}\end{align}$$

모멘트 생성 함수는 , A는 이 적분 (Eq.1) 주위 걷는 방법 , 실시 대신 작성자 :

$$M_X(t):=\mathbb E\big[e^{tX}\big],$$

$$\begin{align} \large \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]}&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\color{blue}{e^{tX}}\,\color{green}{\text{pdf}}\, dx\tag{2}\end{align}$$

왜? 더 쉽고 Maclaurin 시리즈 의 를 확장하여 볼 수있는 MGF의 환상적인 속성이 있기 때문에$\color{blue}{e^{\,tX}}$

$$e^{tX}=1+\frac{ X }{1!}\, t +\frac{ X^{2} }{2!}t^{2} +\frac{ X^{3} }{3!} t^{3} +\cdots$$

이 권력 시리즈의 양면을 기대하면서 :

$$\begin{align} M_X(t) &= \color{blue}{\mathbb{E}\left[e^{\,tX}\right]} \\[1.5ex] &=1 + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X\right]}}{1!} \, t \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^2\right]}}{2!} \, t^2 \, + \frac{\color{red}{\mathbb{E} \left[X^3\right]}}{3!} \, t^3 \, + \cdots\tag{3} \end{align}$$

이 다항식 "빨랫줄"에 모멘트가 "고정"된 것처럼 보이며, 시간 을 단순히 구별 하고 모든 순간에 대해 한 번만 더 쉬운 통합 (수식 (2)) 을 수행하면 0으로 평가할 수 있습니다 ! 더 쉬운 통합이라는 사실은 pdf가 지수 일 때 가장 분명합니다.$k$

번째 순간 을 복구하려면 :$k$

$$M_X^{(k)}(0)=\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\Bigr|_{t=0}$$

결국 차별화가 필요하다는 사실은 무료 점심이 아닙니다. 결국 지수에 변화 가있는 pdf의 양면 라플라스 변환 입니다.

$$\mathcal L \{\text{pdf}(x)\}(s) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-sx}\text{pdf}(x) dx$$

되도록

$$M_X(t)=\mathcal L\{\text{pdf}(x)\}(-s)\tag 4.$$

실제로 이것은 직관에 물리학적인 길을줍니다. Laplace 변환은 하여 순간으로 분해됩니다. 푸리에 변환과 의 유사점은 피할 수 없습니다 . FT는 함수를 실제 선의 새 함수에 매핑하고 Laplace는 함수를 복소 평면의 새 함수에 매핑합니다. 푸리에 변환은 함수 또는 신호를 일련의 주파수로 표현하는 반면, Laplace 변환 은 함수를 순간 으로 해석합니다 . 실제로, 모멘트를 얻는 다른 방법은 푸리에 변환 ( 특성 함수 )을 통하는 것 입니다. Laplace 변환에서 지수는 일반적으로 입니다.$\color{green}{\text{pdf}}$$e^{-st}$$s=\sigma + i\,\omega$ , 실제 지수 및 허수 정현파 에 해당하고 다음과 같은 플롯을 생성 합니다 .

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[ 에서 과학자 스티븐 W. 스미스 신호 처리에 엔지니어 가이드 ]

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따라서 함수는 때 어떻게 "구성 주파수"로 분해합니다eq. (4) :$M_X(t)$$\text{pdf}$$\sigma=0.$

$$\begin{align}\require{cancel} M_X(t)&=\mathbb E\big[e^{-sX}\big]\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-sx}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(\sigma+i\omega)x}}\,\text{pdf}(x)\, dx\\[2ex] &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\cancel{e^{-\sigma x}}\,\color{red}{e^{-i\omega x}\,\text{pdf}(x)\, dx} \end{align}$$

pdf의 푸리에 변환에 해당하는 표현 부분의 적분이 빨간색으로 표시됩니다.

일반적으로 함수 의 라플라스 변환 극 의 직관은 함수의 지수 (부패) 및 주파수 구성 요소 (이 경우 pdf)에 대한 정보를 제공한다는 것입니다.

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에서 로의 전환에 대한 의견 아래 질문에 대한 응답으로 , 이것은 완전히 전략적인 움직임입니다. 한 표현이 다른 표현을 따르지 않습니다. 여기에 비유가 있습니다 : 우리는 우리 자신의 차를 가지고 있으며, 우리가 어떤 사업을 돌볼 필요가있을 때마다 도시로 자유롭게 운전할 수 있습니다 (읽기, 모든 순간, 매 순간마다 아무리 힘들더라도 Eq 통합 ) . 대신, 우리는 완전히 다른 뭔가를 할 수 : 우리는 가장 가까운 지하철 역까지 구동 할 수 있습니다 (읽기, 식 해결 번만), 대중 교통이 사용에서 모든 얻을, 우리가 방문 (읽기에 필요한 모든 단일 장소에 도달하는 를 추출하기위한 식 의 적분의 미분$X^k$$e^{tx}$$(1)$$(2)$$k$$(2)$$k$우리가 필요로 하는 순간, 모든 순간이 "숨겨지고" 으로 평가되어 격리됨을 알고 (식 덕분에 )$(3)$$0$

대부분의 평신도 용어에서는 확률 분포의 모든 특성을 하나의 짧은 문구로 인코딩하는 방법입니다. 예를 들어 분포의 MGF가 인 경우 Taylor 확장의 첫 번째 항을 취하여이 분포의 평균을 찾을 수 있습니다. : 당신이 무엇을하고 있는지 알고 있다면 기대보다 훨씬 빠릅니다 확률 함수의.

$$M(t)=e^{t\mu+1/2\sigma^2t^2}$$ $$\frac d {dt}M(t)|_{t=0}=\mu+\sigma^2t|_{t=0}=\mu$$

또한이 MGF는 분포에 대한 모든 것을 인코딩 하므로 함수를 조작하는 방법을 알고 있다면 분포의 모든 특성에 대해 한 번에 연산을 적용 할 수 있습니다! 왜 항상 MGF를 사용하지 않습니까? 첫째, 모든 상황에서 MGF가 가장 쉬운 도구는 아닙니다. 둘째, MGF가 항상 존재하는 것은 아닙니다.

평신도 위

표준 정규 분포가 있다고 가정합니다. PDF를 표시하여 알고있는 모든 내용을 표현할 수 있습니다.

$$f(x)=\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

평균 및 표준 편차와 같은 모멘트를 계산하고 변환 된 변수 및 임의의 법선 등의 함수에 사용할 수 있습니다.

정규 분포의 MGF를 PDF의 대안으로 생각할 수 있습니다. 같은 양의 정보가 들어 있습니다. 나는 평균을 얻는 방법을 이미 보여 주었다.

대체 방법이 필요한 이유는 무엇입니까? 내가 쓴 것처럼 때로는 더 편리합니다. 예를 들어 PDF에서 표준 법선의 분산을 계산해보십시오. 그렇게 어렵지는 않지만 MGF 로 수행하는 것이 훨씬 쉽습니다 .

$$\sigma^2=\int_{-\infty}^\infty x^2\frac 1 {\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} dx=?$$ $M(t)=e^{t^2/2}$ $$\sigma^2=\frac {d^2} {dt^2}M(t)|_{t=0}=\frac d {dt} t |_{t=0}=1$$