랜덤 변수의 샘플은 무엇입니까?

랜덤 변수 는 기본 측정 단위 를 사용하여 하나의 -algebra 에서 다른 -algebra 까지 측정 가능한 함수로 정의됩니다 . $X$ $\sigma$ $(\Omega_1, \mathcal F_1)$ $P$ $\sigma$ $(\Omega_2, \mathcal F_2)$

이 랜덤 변수의 샘플 에 대해 어떻게 이야기 합니까? 우리는 이것을 의 요소로 취급 합니까? 또는 와 같은 측정 가능한 함수 입니까? $X^n$ $\Omega_2$ $X$

이에 대한 자세한 내용은 어디서 볼 수 있습니까?

예:

Monte Carlo 추정에서는 표본 을 함수 로 간주하여 추정기의 불편 함을 입증합니다 . 랜덤 변수 대한 기대 값 이 다음과 같이 정의 된 경우 $(X^n)_{n = 1}^N$ $X$

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

이 함수이고 이라고 가정하면 다음과 같이 진행할 수 있습니다. $X^n$ $X^n = X$

\begin{aligned} E [\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} f (X^{n})] & = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X^{n})] \\ = \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} E [f (X)] \\ = E [f (X)] . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$

경우 불과 요소였다 , 우리는 방정식의 마지막 세트를 쓸 수 없었다. $X^n$ $\Omega_2$

sampling random-variable simulation

— sk1ll3r
소스

귀하의 예에서 은 모두 귀하가 설명한 와 동일한 분포를 가지므로 해당 expecation은 와 동일 합니다.

X^{n}

$X^n$

X

$X$

X

$X$

— bdeonovic

답변:

샘플 은 에서 까지 측정 가능한 함수입니다 . 이 샘플의 실현은 에서 . $(X^1,\ldots,X^N)$ $\Omega_1$ $\Omega_2^N$ $\omega\in\Omega_1$ $(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

진술 할 때

이 함수이고 라고 가정 $X^n$ $X^n=X$

함수 은 모두 다른 함수이므로 이미지 는 주어진 대해 다를 수 있습니다 . 표본이 iid (독립적이고 동일하게 분포 됨) 인 경우 함수 은 두 가지 추가 속성으로 다릅니다. $X^n$ $X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$ $\omega$ $X^n$

동일한 분포, 즉 모든 측정 가능 집합 에 대해 ; $\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$ $A$ $\mathcal{F}_2$
독립, 즉 모든 측정 가능 세트 에 대한 $\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$ $A^1,\ldots,A^N$ $\mathcal{F}_2$

당신의 정의

$\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d ω_{1} \end{aligned}$ $\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$

잘못되었습니다 :

\begin{aligned} E [X] = \int_{Ω_{1}} X (ω_{1}) d P (ω_{1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$

— 시안
소스

랜덤 변수가 아닌 모집단 에서 표본 을 추출 할 수 있습니다 . " 랜덤 변수 샘플 "은 모집단에서 추출한 샘플이 있고 동일하게 분포 된 랜덤 변수 라고 가정하는 단순화 된 방법입니다 . 따라서 이러한 샘플은 임의 변수 처럼 동작 합니다. 확률과 통계에 사용 된 용어를 혼합하기 때문에 모호합니다. 공통 분포 에서 표본을 추출하는 시뮬레이션과 동일 합니다. 두 경우 모두 표본은 데이터입니다 $n$ $n$ $n$ 당신은 가지고 있습니다. 임의의 프로세스로 인해 샘플이 그려 지므로 샘플은 임의의 변수로 간주됩니다. 공통 분포에서 나왔으므로 동일하게 분포됩니다. 표본을 다루기 위해 통계를 가지고 있지만 통계는 확률 이론의 관점에서 문제의 추상적이고 수학적 설명을 사용하므로 용어가 혼합되어 있습니다. 랜덤 변수는 샘플에서 발생할 수있는 이벤트에 확률을 할당하는 함수 입니다.

— 팀
소스

몬테카를로 시뮬레이션 환경에서는 어떨까요? 거기에서 표본은 모집단이 아닙니다. 그들은 난수 생성기에서 온 것입니다.

— sk1ll3r

@ sk1ll3r 여전히 공통 분포에서 추출한 샘플입니다.

— Tim

그래서에서 요소로 취급 것 또는에서 함수 에 ?

Ω_{2}

$\Omega_2$

Ω_{1}

$\Omega_1$

Ω_{2}

$\Omega_2$

— sk1ll3r

bdeonovic이 말한 @ sk1ll3r은 평범한 무작위 변수 일뿐입니다.

— Tim