52 장의 덱에서 20 장의 카드를 뽑았을 때 4 가지 종류를 뽑을 확률은 얼마입니까?

어제 하우스 메이트와 나는 카드 게임을하고 있었고 누군가이 질문에 답했습니다. 문제를 해결하려고했지만 파악할 수 없었습니다. 오늘 아침에 일어 났는데도 여전히 해결 방법이 궁금합니다. 도와주세요?

13 종류가 있으므로 단일 종류의 문제를 해결 한 다음 앞으로 나아갈 수 있습니다.

문제는, 4 개의 성공 (왕)과 48 개의 실패를 교체하지 않고 20 개의 표본에서 4 개의 성공 (왕과 같은)을 이끌어 낼 확률은 얼마인가?

초기 하 분포 (위키 백과) 우리에게이 질문에 대한 답을 제공하고, 그것은 1.8 %입니다.

한 친구가 4 명의 왕을 얻는 것에 베팅하고 다른 친구가 4 명의 여왕을 얻는 것에 베팅하면 둘 다 1.8 %의 승리 확률이 있습니다. 우리는 둘 중 하나가 이길 확률이 무엇인지 말하기 위해 두 개의 베팅이 얼마나 중복되는지 알아야합니다.

두 당첨의 중복은 첫 번째 질문과 유사합니다. 즉, 교체없이 8 개의 성공 (킹 및 퀸) 및 44 개의 실패 분포에서 20 개의 샘플에서 8 개의 성공 (킹 및 퀸)을 그릴 확률은 얼마입니까?

대답은 다시 비대칭 적이며 내 계산으로는 0.017 %입니다.

두 친구 중 적어도 하나가 이길 확률은 1.8 % + 1.8 %-0.017 % = 3.6 %입니다.

이 추론을 계속하면 쉬운 부분이 개별 종류의 확률을 합산하고 (13 * 1.8 % = 23.4 %) 어려운 부분은이 13 가지 시나리오 모두가 얼마나 많이 겹치는지를 알아내는 것입니다.

4 명의 왕 또는 4 명의 여왕 또는 4 명의 에이스를 얻을 확률은 각각의 4 가지 빼기에서 겹치는 부분을 뺀 합계입니다. 겹치는 부분은 4 명의 왕과 4 명의 여왕 (4 명의 에이스가 아님), 4 명의 왕과 4 개의 에이스 (그러나 4 명의 왕비가 아님), 4 명의 여왕과 4 개의 에이스 (그러나 4 명의 왕이 아닌), 4 명의 왕과 4 명의 여왕을 얻는 것으로 구성됩니다. 그리고 4 개의 에이스.

이곳은 계속하기에는 너무 털이 있지만 위키피디아의 초 기하학적 공식으로 진행하면 계속 쓸 수 있습니다.

누군가 문제를 줄이는 데 도움이 될 수 있습니까?

그리려면 적어도 네 - 중 - - 종류의, 우리 모두 작성하여야한다 지정된 4 K 필요한 카드. 이것은 우리가 그릴해야 초기 하 분포이다 4 K 크기의 인구에서 성공을 52 있습니다 ($k$$4k$$4k$$52.$ 그러한 4 가지 종류의 세트. 따라서, 적어도4 가지 종류의k를 얻을 수있는 기회는$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$$0\leq k\leq5.$

포함-배제 원칙에 의해, 적어도 하나의 4 가지 특성을 도출 할 확률은

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

$0.2197706.$

$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$