m 명 목록에서 n 명이 y 명 목록에서 x 명을 무작위로 선택했을 확률은 얼마입니까?

교체하지 않고 363 명으로 구성된 수영장에서 232 명을 선택하는 경우 12 명 중 2 명이 해당 선택에 참여할 확률은 얼마입니까?

이것은 232 개의 지점에 363 명의 참가자가있는 울트라 레이스에 대한 무작위 추첨입니다. 선택이 특정 12 명 그룹에 대해 편향되어 있는지에 대한 논쟁이 있습니다.

이것을 계산하기위한 나의 초기 시도는 232 개의 선택 가능한 363 개의 선택이 있다는 것이었다. 12 명 목록에서 한 사람의 조합 수는 1 선택 12 + 2 선택 12 + ... + 11 선택 12 + 12 선택 12입니다. 따라서 1 선택 12 + 2 선택 12 .... / 232 선택 363 결과적으로 매우 낮은 숫자가되고, 이는 분명히 너무 낮습니다.

이것을 어떻게 계산합니까?

나는 다음과 같은 질문을 해석합니다. 백서 장을 항아리에 넣고 마치 한 사람의 이름으로 라벨을 붙인 것처럼 항아리의 내용물을 완전히 저으면서 무작위로 232 개를 추출한 것처럼 샘플링을 수행했다고 가정합니다 . 사전에 12 장의 티켓이 빨간색으로 표시되었습니다. 선택한 티켓 중 정확히 두 개가 빨간색 일 가능성은 무엇입니까 ? 최대 2 개의 확률$363$$232$$12$ 티켓이 빨간색 ?

정확한 공식을 얻을 수 있지만 이론적 인 작업을 많이 수행 할 필요는 없습니다. 대신, 우리는 단지 티켓이 항아리에서 뽑힐 때의 기회를 추적합니다. 시간에 그들의 철회되고, 정확히 그 기회하자 내가 빨간색 티켓을 기록 할 볼 한 쪽 ( I , m을 ) . 시작하려면, i > 0 (시작하기 전에 빨간 티켓을 가질 수 없음)이고 p ( 0 , 0 ) = 1 인 경우 p ( i , 0 ) = $m$$i$$p(i,m)$$p(i,0)=0$$i\gt 0$$p(0,0)=1$(처음에는 빨간 티켓이 없다고 확신합니다). 가장 최근의 추첨에서 티켓은 빨간색이거나 그렇지 않았습니다. 첫 번째 경우에, 우리는 이전에 정확히 i - 1 빨간 티켓 을 볼 수 있는 기회 를 가졌습니다 . 우리는 다음 나머지에서 빨간색 하나 끌어 후 무슨 일이 있었 363 - m + 1 정확히하고, 티켓을 내가 지금까지 티켓을 빨간색. 우리는 모든 티켓이 모든 단계에서 동일한 기회를 가지고 있다고 가정하기 때문에 이러한 방식으로 빨간색을 그릴 가능성은 ( 12 - i $p(i-1,m-1)$$i-1$$363 - m + 1$$i$ . 다른 경우에, 우리는이전 m - 1 무승부에서정확히 i 빨간 티켓을 얻을 수있는 기회 p ( i , m - 1 ) 를가졌으며다음 무승부에서 샘플에 다른 빨간 티켓을 추가하지 않을가능성은 ( 363 − m + 1 − 12 + i ) / ( 363 − m + 1 $(12-i+1) / (363 - m + 1)$$p(i,m-1)$$i$$m-1$$(363 - m + 1 - 12 + i) / (363 - m + 1)$. 기본 확률 원칙을 사용하면 (즉, 상호 배타적 인 두 경우의 기회가 추가되고 조건부 확률이 곱해집니다),

0 ≤ i ≤ 12 및 0 ≤ m ≤ 232에 대해 값의 삼각형 배열을 배치하여이 계산을 반복적으로 반복합니다 . 약간의 계산 후 p ( 2 , 232 ) ≈ 0.000849884 및 p ( 0 , 232 ) + p ( 1 , 232 ) + p ( 2 , 232 $p(i,m)$$0\le i\le 12$$0 \le m \le 232$$p(2,232) \approx 0.000849884$ , 두 버전의 질문에 모두 답변 이것들은 작은 숫자입니다. 어떻게 보든 지간에 그들은 아주 드문 사건입니다 (1,000에서 1보다 희귀).$p(0,232)+p(1,232)+p(2,232)\approx 0.000934314$

이중 점검으로, 이 연습을 컴퓨터에서 1,000,000 번 수행했습니다. 이들 실험의 932 = 0.000932에서, 2 개 이하의 적색 티켓이 관찰되었다. 예상 값 934.3 의 샘플링 변동 이 약 30 (위 또는 아래) 이기 때문에 이는 계산 결과와 매우 비슷합니다 . R에서 시뮬레이션을 수행하는 방법은 다음과 같습니다.

> population <- c(rep(1,12), rep(0, 363-12)) # 1 is a "red" indicator
> results <- replicate(10^6, 
             sum(sample(population, 232)))   # Count the reds in 10^6 trials
> sum(results <= 2)                          # How many trials had 2 or fewer reds?
[1] 948

이번에는 실험이 임의적이기 때문에 결과가 약간 변경되었습니다. 9 백만 건의 실험 중 248 개 미만의 빨간 표가 관찰되었습니다. 그것은 여전히 ​​이론적 결과와 일치합니다.)

결론은 232 티켓 중 2 개 이하가 빨간색 일 가능성이 거의 없다는 것입니다. 실제로 363 명 중 232 명의 표본이있는 경우,이 결과는 JAR (jar-in-a-jar) 모델이 표본 획득 방법에 대한 올바른 설명 이 아님을 나타 냅니다. 다른 설명으로 는 (a) 빨간색 티켓이 항아리에서 가져 오기가 더 어려워졌고 ( "바이어스"에 대한 "바이어스") (b) 샘플이 관찰 된 후 티켓이 채색 되었습니다 ( 사후 데이터 스누핑). 편견을 나타내지 않음 ).

설명 (b)의 예는 악명 높은 살인 재판을위한 배심원 풀입니다. 363 명이 포함되었다고 가정하십시오. 그 수영장에서 법원은 232 명을 인터뷰했습니다. 야심 찬 신문 기자 가 수영장에있는 모든 사람들 의 이력 을 세 심하게 검토 한 결과 363 명 중 12 명이 금붕어 팬더 였지만 그 중 2 명만이 면담을했다는 것을 알았습니다. 법원은 금붕어 애호가에 대해 편견을 가지고 있습니까? 아마 아닙니다.

@ whuber는 철저한 설명을 제공했습니다.이 시나리오에 해당하는 표준 통계 분포, 즉 초 기하 분포 가 있음을 지적하고 싶습니다 . 따라서 R에서 직접 이러한 확률을 얻을 수 있습니다.

선택한 12 개 중 정확히 2 개의 확률 :

   > dhyper(2, 12, 363-12, 232)
   [1] 0.0008498838

선택한 12 개 중 2 개 이하의 확률 :

   > phyper(2, 12, 363-12, 232)
   [1] 0.000934314

그룹이 무작위로 선택되지 않기 때문에 확률 분포는 단순한 초 지오메트리 분포로 계산 된 것보다 훨씬 높습니다 ( "12 마리의 물고기는 추첨 전에 빨간색으로 페인트됩니다" ).

질문에 대한 설명을 통해 추첨의 사기를 테스트하고 있습니다. 12 명으로 구성된 특정 그룹은이 중 2 명만 선출되었으며, 예상 인원은 232 / 363 ~ 2 / 3 = 8이라고 불평했습니다.

우리가 실제로 계산해야 할 것은 " 아니요 " 크기 (12)의 그룹 만이 회원이 선택이 없다"는. 적어도 하나의 그룹이 2 개 이하를 가질 확률 (따라서 추첨의 공정성에 대해 불평 할 가능성)은 훨씬 높습니다.

이 시뮬레이션을 실행하고 30 개 (= 360 / 12) 그룹 중 2 개 이하의 선택 항목 이없는 시행 횟수를 확인 하면 약 2.3 % 의 시간을 얻 습니다. 1:42 는 낮지 만 불가능하지는 않습니다.

특정 그룹의 사람들에 대해 편견이있을 수 있으므로 추첨 절차를 여전히 확인해야합니다. 그들은 함께 모여서 확률이 적은 (예를 들어 첫 번째 또는 마지막 숫자), 또는 추첨 절차에 의존하는 변수를 가진 추첨 범위를 받았을 것입니다. 그러나 절차에서 결함을 찾지 못하면 그룹에 대한 불운이라는 1:42 확률로 돌아갈 수 있습니다.