PCA를 통한 마할 라 노비스 거리

나는 행렬을 가지고 있는데, 여기서 는 유전자의 수이고 은 환자의 수입니다. 그러한 데이터로 작업 한 사람은 가 항상 보다 크다는 것을 알고 있습니다. 기능 선택을 사용하여 를 더 합리적인 수로 줄 였지만 는 여전히 보다 큽니다 .$n\times p$$p$$n$$p$$n$$p$$p$$n$

나는 그들의 유전자 프로필을 기반으로 환자의 유사성을 계산하고 싶습니다; 유클리드 거리를 사용할 수는 있지만 변수 간의 상관 관계를 설명하기 때문에 Mahalanobis가 더 적합 해 보입니다. 문제는 (이 게시물 에서 언급했듯이 ) 일 때 Mahalanobis 거리, 특히 공분산 행렬이 작동하지 않는다는 것 입니다. R에서 Mahalanobis 거리를 실행할 때 얻는 오류는 다음과 같습니다.$n < p$

 Error in solve.default(cov, ...) :    system is computationally
 singular: reciprocal condition number = 2.81408e-21

지금까지이 문제를 해결하기 위해 PCA를 사용했고 유전자를 사용하는 대신 구성 요소를 사용했는데 이것은 Mahalanobis 거리를 계산할 수있는 것으로 보입니다. 5 개의 성분은 분산의 약 80 %를 나타내므로 이제 입니다.$n > p$

내 질문은 : PCA를 사용하여 환자 사이의 마할 라 노비스 거리를 의미있게 얻을 수 있습니까, 아니면 부적절합니까? 일 때 작동하는 대체 거리 측정법이 있으며 변수 간에 많은 상관 관계가 있습니까?$n < p$$n$

모든 구성 요소를 PCA에서 유지하면 새로운 PCA 공간에서 환자 간의 유클리드 거리는 관찰 된 가변 공간에서의 마할 라 노비스 거리와 같습니다. 일부 구성 요소를 건너 뛰면 약간 변경되지만 어쨌든 변경됩니다. 여기서는 분산이 고유 값과 같은 종류가 아닌 단위 분산 PCA 구성 요소를 말합니다 (PCA 구현에 대해서는 잘 모르겠습니다).

환자 간 Mahalanobis 거리를 평가하려면 PCA를 적용하고 유클리드 거리를 평가할 수 있습니다. PCA를 적용한 후 Mahalanobis 거리를 평가하는 것은 나에게 의미가없는 것 같습니다.

다음 논문을 살펴보십시오.

Zuber, V., Silva, APD, & Strimmer, K. (2012). 고차원의 게놈 전체 연관 연구에서 동시 SNP 선택을위한 새로운 알고리즘 . BMC 생물 정보학 , 13 (1), 284.

문제를 정확하게 처리합니다. 저자는 새로운 변수 중요도 측정을 사용한다고 가정하고, 이전에는 문제에 맞는 설명 변수의 상관 행렬에 대한 불이익 추정 방법을 도입했습니다. 그들은 또한 장식을 위해 Mahalanobis 거리를 사용합니다!

이 방법은 CRAN 에서 제공되는 R- 패키지 '케어'에 포함되어 있습니다.

PCA 스코어 (또는 PCA 결과)는 샘플과 샘플 분포 사이의 마할 라 노비스 거리를 계산하기 위해 문헌에서 사용된다. 예를 들어이 기사를 참조 하십시오 . "분석 방법"섹션에서 저자는 다음과 같이 말합니다.

형광 스펙트럼 (681)의 데이터 세트는 상관 매트릭스 (681 × 681)의 주성분 (PC)을 평가함으로써 더 낮은 차원 (11)으로 감소된다. PC 점수는 PC를 따라 원본 데이터를 투영하여 추정됩니다. 데이터 세트들 사이의 분류는 PC 점수에 대한 마할 라 노비스 거리를 계산함으로써 마할 라 노비스 거리 모델을 사용하여 수행되었다.

문헌 및 GRAMS IQ 화학 측정 소프트웨어의 도움말 메뉴에서 PCA / Mahalanobis 거리 기반 판별 분석의 다른 예를 보았습니다. 변수의 수가 사용 가능한 샘플 수보다 클 때 Mahalanobis 거리가 제대로 작동하지 않고 PCA가 변수 수를 줄이므로이 조합은 의미가 있습니다.

PCA / Mahalanobis 거리 기반 판별 분석의 대안으로 일류 분류 기계 학습 알고리즘 (예 : Isolation Forest, One-ClassSVM 등)이 있습니다. 실험실에서 데이터 전처리와 결합 된 Isolation Forest는 근적외선 스펙트럼 분류에서 좋은 결과를 얻었습니다.

약간 관련된 노트에서, 높은 차원의 데이터를 위해 PCA / Mahalanobis 거리를 사용한 특이 치 또는 참신 탐지에는 종종 Mahalanobis 거리 컷오프 계산이 필요합니다 . 이 기사 에서는 데이터가 정규 분포를 가정 할 때 컷오프를 카이 제곱 분포 임계 값의 제곱근 으로 계산할 수 있다고 제안합니다 . 이 임계 값에는 자유도 및 데이터와 관련된 확률 값이 필요합니다. 이 기사 는 저자가 계산을 위해 데이터 세트의 기능 수를 사용했기 때문에 유지되는 주성분 의 수가 임계 값을 계산하는 데 필요한 자유 도와 같다고 제안합니다 .