선형성을 달성하기 위해 최상의 변형을 선택하는 방법은 무엇입니까?

여러 선형 회귀 분석을 한 다음 외삽이 거의없는 새로운 값을 예측하고 싶습니다. 내 반응 변수는 -2에서 +7까지의 범위와 세 개의 예측 변수 (약 +10-+200 범위)입니다. 분포는 거의 정상입니다. 그러나 반응과 예측 변수 사이의 관계는 선형이 아니며 플롯에서 곡선을 볼 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. http://cs10418.userapi.com/u17020874/153949434/x_9898cf38.jpg

선형성을 달성하기 위해 변환을 적용하고 싶습니다. 다른 함수를 확인하고 결과 플롯을보고 응답 변수와 예측 변수 사이의 선형 관계를 확인하여 응답 변수를 변환하려고했습니다. 그리고 나는 눈에 보이는 선형 관계를 줄 수있는 많은 기능이 있음을 발견했습니다. 예를 들어, 함수

$t_1=\log(y+2.5)$

$t_2=\frac{1}{\log(y+5)}$

$t_3=\frac{1}{y+5}$

$t_4=\frac{1}{(y+10)^3}$

$t_5=\frac{1}{(y+3)^\frac{1}{3}}$ 등도 비슷한 결과를 제공합니다. http://cs10418.userapi.com/u17020874/153949434/x_06f13dbf.jpg

예측 된 값을 역변환 ( 경우 등). 분포는 정규과 다소 비슷합니다. y′=$t=\frac{1}{(y+10)^3}$$y’=\frac{1}{t^\frac{1}{3}}-10$

데이터에 가장 적합한 변환을 어떻게 선택할 수 있습니까? 선형성을 평가하는 정량적이며 (매우 복잡하지 않은) 방법이 있습니까? 선택한 변환이 최고임을 증명하거나 가능한 경우 자동으로 찾습니다.

아니면 비선형 다중 회귀를 수행하는 것이 유일한 방법입니까?

이것은 다소 예술적이지만, 항상 시도 할 수있는 표준적이고 간단한 것들이 있습니다.

가장 먼저해야 할 일은 종속 변수 ( )를 다시 표현 하여 잔차를 정규화하는 것입니다. 이 예에서는 점이 매우 산란되어 부드러운 비선형 곡선을 따라 떨어지는 것처럼 보이는이 예에서는 실제로 적용 할 수 없습니다. 다음 단계로 진행합니다.$y$

다음 은 독립 변수 ( )를 다시 표현 하여 관계를 선형화하는 것입니다. 이 작업을 수행하는 간단하고 쉬운 방법이 있습니다. 커브를 따라 세 개의 대표 점을 선택하십시오 (양쪽과 중간). 첫 번째 그림에서 나는 순서 쌍 = , 및 . 이외의 정보 가 항상 양수인 것처럼 보이지 않으면 다양한 전력 대해 Box-Cox 변환 를 탐색하는 것이 좋습니다 . 일반적으로 배수로 선택됩니다 또는 및 일반적으로( R , Y ) ( 10 , 7 ) ( 90 , 0 ) ( 180 , - 2 ) R R → ( R P - 1 ) / P (P) 1 / 2 1 / 3 - 1 1 P 0 로그 ( R $r$$(r,y)$$(10,7)$$(90,0)$$(180,-2)$$r$ $r \to (r^p-1)/p$$p$$1/2$$1/3$$-1$ 및 . ( 가 에 접근함에 따라 제한값 은 입니다.)이 변환은 처음 두 점 사이의 기울기가 두 번째 쌍 사이의 기울기와 같으면 대략적인 선형 관계를 만듭니다.$1$$p$$0$$\log(r)$

예를 들어, 형질 전환되지 않은 데이터의 기울기는 - = 및 = . 이것들은 상당히 다릅니다. 하나는 다른 것의 약 4 배입니다. 시도 하면 등 및 : 이제 그 중 하나는 다른 것의 두 배에 불과하므로 개선되었습니다. 이 방식으로 계속하면 (스프레드 시트가 편리함) 이 잘 작동 한다는 것을 알았 습니다. 경사는 이제 및0.088 ( - 2 - 0 ) / ( 180 - 90 ) - 0.022 (P) = - 1 / 2 ( 0 - 7 ) / ( 90 - 1 / 2 - $(0-7)/(90-10)$$0.088$$(-2-0)/(180-90)$$-0.022$$p=-1/2$−16.6−32.4p≈0−7.3−6.6y=α+β로그(r)$(0-7)/(\frac{90^{-1/2}-1}{-1/2}-\frac{10^{-1/2}-1}{-1/2})$$-16.6$$-32.4$$p \approx 0$$-7.3$$-6.6$거의 같은 값입니다. 따라서 형식의 모델을 시도해야합니다 . 그런 다음 반복하십시오. 선을 맞추고 잔차를 검사하고 의 변형을 식별하여 거의 대칭으로 만들고 반복하십시오.$y = \alpha + \beta \log(r)$$y$

John Tukey는 그의 고전 저서 탐색 데이터 분석 (Addison-Wesley, 1977) 에서 자세한 내용과 예를 제공합니다 . 그는 분산 안정화 변환을 식별하기 위해 유사한 (그러나 약간 더 관련이있는) 절차를 제공 합니다. 그가 운동으로 제공하는 한 샘플 데이터 세트는 다양한 온도에서 측정 된 수은 증기압에 관한 오래된 데이터에 관한 것입니다. 이 절차에 따라 Clausius-Clapeyron 관계 를 재발견 할 수 있습니다 . 최종 맞춤에 대한 잔차는 원자 거리에서 발생하는 양자 역학적 효과로 해석 할 수 있습니다!$y$

원래 척도의 반응 변수 (또는 오히려 반응 변수의 잔차가 될 것)에 정규 분포가있는 경우 다른 변수와 선형 관계를 만들기 위해 변환하면 더 이상 정상이 아닙니다. 또한 분산과 평균값 간의 관계도 변경됩니다. 따라서 설명의 해당 부분에서 비선형 회귀를 사용하는 것이 응답을 변환하는 것보다 낫습니다. 그렇지 않으면 응답을 선형으로 변환 한 후에는보다 복잡한 오류 구조가 필요합니다 (단, 판단이 문제가 될 수 있으며 그래픽 방법을 사용하여 확인해야 함).

또는 설명 변수의 변환을 조사 하십시오. 직선 변환뿐 아니라 2 차 항을 추가 할 수도 있습니다.

더 일반적으로, 변형의 기초로 사용해야 할 것을 제안하는 기존 이론이 없다면 변형은 과학보다 예술입니다.