프로젝트 오일러 문제 213 (“벼룩 서커스”)에 어떻게 접근해야합니까?

프로젝트 오일러 213 을 해결하고 싶지만 통계 분야의 평신도이기 때문에 어디서부터 시작 해야할지 모르겠습니다. 정확한 답변이 필요하므로 Monte Carlo 방법이 작동하지 않습니다. 읽을 수있는 몇 가지 통계 주제를 추천 해 주시겠습니까? 여기에 솔루션을 게시하지 마십시오.

벼룩 서커스

30x30 크기의 정사각형 격자에는 900 개의 벼룩이 있으며, 처음에는 사각형 당 한 개의 벼룩이 있습니다. 벨이 울릴 때, 각 벼룩은 인접한 정사각형으로 무작위로 점프합니다 (격자의 가장자리 나 모서리에있는 벼룩을 제외하고 일반적으로 4 가지 가능성).

종을 50 번 울린 후 비어있는 사각형의 예상 개수는 얼마입니까? 소수점 이하 여섯 자리로 반올림하십시오.

네가 옳아; 몬테 카를로는 불가능합니다. (순진한 시뮬레이션, 즉 단순화없이 문제 상황을 정확하게 재현하는 시뮬레이션에서 각 반복에는 900 개의 벼룩 이동이 포함됩니다. 빈 셀의 비율에 대한 대략적인 추정치는 이며, 몬테의 분산을 암시합니다 후 -Carlo 추정 같은 반복은 약 . 여섯 개 소수점 이하의 장소에 대한 답을 아래로 고정하려면, 당신은 5.E 내로 추정해야 -7, 95 + %의 신뢰도를 달성하기 위해서는 그 정밀도를 약 2.5E-7로 절반으로 줄여야합니다. 을N 1 / N 1 / e ( 1 − 1 / e ) = 0.2325 … / N $1/e$$N$$1/N 1/e (1 - 1/e) = 0.2325\ldots /N$N>4E$\sqrt(0.2325/N) \lt 2.5E-7$$N > 4E12$대략. 그것은 약 3.6E15의 벼룩 움직임이 될 것입니다. 하나의 최신 CPU를 사용하면 1 년 (고효율) 컴퓨팅이 필요합니다. 그리고 대답이 카운트 대신 비율로 제공되는 것으로 잘못 잘못하고 지나치게 낙관적으로 가정했습니다. 카운트로 계산하면 백만 배가 증가하는 3 개의 더 중요한 수치가 필요합니다 ... 오래 기다릴 수 있습니까?)

분석 솔루션이 진행되는 한 일부 단순화가 가능합니다. (이것들은 몬테카를로 계산을 줄이는 데에도 사용될 수 있습니다.) 예상되는 빈 셀 수는 모든 셀에 대한 공허 확률의 합입니다. 이를 찾기 위해 각 셀의 점유율 수의 확률 분포를 계산할 수 있습니다. 이러한 분포는 각 벼룩의 (독립!) 기여를 합산하여 얻습니다. 이렇게하면 해당 그리드의 특정 셀 쌍 사이에서 30 x 30 그리드를 따라 길이가 50 인 경로 수를 찾는 문제가 줄어 듭니다 (하나는 벼룩의 원점이고 다른 하나는 벼룩의 점령).

각 벼룩에 대한 세포의 점유 확률을 반복 할 수 없습니까? 즉, 벼룩 k는 처음에 확률이 1 인 셀 (i (k), j (k))에 있습니다. 1 회 반복 후, 그는 4 개의 인접한 셀 각각에 1/4의 확률을가집니다 (가장자리에 있지 않거나 코너). 그런 다음 다음 반복에서 각 분기가 차례로 "번져서"나타납니다. 50 번의 반복 후에는 벼룩에 대한 직업 확률 매트릭스가 나타납니다. 900 개의 벼룩을 모두 반복하고 (시뮬레이션을 활용하면 거의 8 배 감소) 확률을 추가 할 수 있습니다 (한 번에 모두 저장할 필요는 없으며 현재 벼룩 행렬 만 사용하면됩니다. 매우 영리한 경우 추가 작업 행렬)과 현재 행렬 합계)를 원할 수 있습니다. 여기저기서 속도를 높이는 방법이 많이있는 것 같습니다.

시뮬레이션이 전혀 필요하지 않습니다. 그러나 많은 계산이 필요합니다. 높은 확률로 6dp 정확도보다 약간 더 나은 답변을 제공하고 어떤 접근법이 더 빠른지를 알아내는 데 필요한 시뮬레이션 크기를 계산하는 것은 그리 어렵지 않아야합니다. 이 접근법이 시뮬레이션을 약간 능가 할 것으로 기대합니다.

whuber 가 지적한 소수점 이하 6 자리의 정밀도 로이 문제의 Monte Carlo 해상도의 실질적인 불가능 성 (또는 비 실용성)에 반대하지는 않지만 6 자리 정확도의 해상도를 달성 할 수 있다고 생각합니다.

먼저, Glen_b에 이어 , 입자는 정지 된 체제에서 교환 가능하므로 , 이는 마르코프 공정을 구성하기 때문에 다른 세포의 점유를 모니터링하는 것으로 충분하다 . 다음 시간 단계 에서의 점유의 분포 는 현재 시간 에서의 점유에 의해 결정된다 . 전이 행렬 작성하는 것은 확실히 비현실적이지만 전이를 시뮬레이션하는 것은 간단합니다.t $t+1$$t$$K$

둘째, shabbychef가 지적한 바와 같이 450 홀수 (또는 짝수) 제곱에 대한 점유 과정을 따를 수 있는데, 홀수 제곱을 고려할 때 홀수 제곱, 즉 제곱 된 Markov 행렬 가 남아 있습니다 .$K^2$

셋째, 원래의 문제점은 Markov 전환 후 제로 점유 빈도 만 고려합니다 . 시작점이 Markov chain의 고정 확률 분포 대해 매우 높은 값을 가지며 모든 셀에서 단일 평균에 중점을 둔 경우 우리는 체인의 실현 시간 에서 은 고정 확률 분포로부터의 실현이다. 이 고정 분포에서 직접 시뮬레이션 할 수 있기 때문에 컴퓨팅 비용이 크게 절감됩니다.50(X(t)) P 0=$\hat{p}_0$$50$$(\mathbf{X}^{(t)})$(X(t))t=50

분명히 고정 분포는 예상되는 빈 셀 수를 로 .

pot=rep(c(rep(c(0,1),15),rep(c(1,0),15)),15)*c(2,
    rep(3,28),2,rep(c(3,rep(4,28),3),28),2,rep(3,28),2)
pot=pot/sum(pot)
sum((1-pot)^450)-450
[1] 166.1069

이것은 몬테카를로 근사치에 습니다. (10 machine 시뮬레이션을 기반으로했으며, 내 컴퓨터에서 14 시간이 걸렸습니다.) 그러나 소수점 이하 6 자리는 충분하지 않습니다.$166.11$

whuber 에 의해 논평 된 것처럼 , 견적에 2를 곱하여 질문에 올바르게 대답해야하므로 최종 값 332.2137,

분석적인 접근 방식은 지루할 수 있으며 복잡한 점을 고려하지는 않았지만 여기에 고려해야 할 접근 방식이 있습니다. 50 개의 링 이후에 비어있는 예상 셀 수에 관심이 있기 때문에 벼룩의 위치가 아니라 "셀에 벼룩 없음"에 대한 마르코프 체인을 정의해야합니다 (위치 를 모델링하는 Glen_b의 답변 참조 ). 앤디가 그 답변에 대한 의견에서 지적한 것처럼 그 접근 방식은 원하는 것을 얻지 못할 수 있습니다.)

구체적으로,

i $n_{ij}(t)$ 는 행 과 행에있는 셀의 벼룩 수입니다 .$i$$j$

그런 다음 마르코프 체인은 다음 상태로 시작합니다.

i $n_{ij}(0) =1$모든 및 대해 입니다 .$i$$j$

벼룩은 4 개의 인접한 셀 중 하나로 이동하기 때문에, 셀의 상태는 대상 셀에 몇 개의 벼룩이 있는지, 그리고 4 개의 인접한 셀에 몇 개의 벼룩이 있는지, 그리고 그 셀로 이동할 확률에 따라 달라집니다. 이 관찰을 사용하여 각 셀의 상태 전이 확률을 해당 셀의 상태와 인접 셀의 상태의 함수로 작성할 수 있습니다.

당신이 원한다면 나는 대답을 더 확장 할 수 있지만 이것은 마르코프 체인에 대한 기본 소개와 함께 당신을 시작할 것입니다.

숫자 경로를 사용하려는 경우 간단한 관찰 : 문제가 빨간색-검정 패리티의 영향을받는 것으로 보입니다 (빨간색 사각형의 벼룩은 항상 검은 색 사각형으로 이동하고 그 반대도 마찬가지 임). 이렇게하면 문제 크기를 절반으로 줄일 수 있습니다 (한 번에 두 번의 움직임 만 고려하고 빨간색 사각형의 벼룩 만보십시오).

이산 시간 마르코프 체인에 대한 지식이 유용 할 것으로 생각 됩니다.