자연 로그 변경이 백분율 변경 인 이유는 무엇입니까? 이것을 만드는 로그는 무엇입니까?

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계수가 백분율 변화로 해석되는 로그 회귀 분석을 수행 할 수 있도록 로그의 속성이 어떻게 로그 속성을 만드는지 설명 할 수 있습니까?

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
소스

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l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ 이고 은 1에 백분율 변화를 더한 값입니다.

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$

X1을 기준으로 방정식의 미분 시리즈 표현을 고려하는 것보다 질문에 더 잘 대답 할 수 있다고 생각합니다.

— Charles

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들어 및 서로에 가까운 비율 변화 로그의 차이를 근사 . $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

퍼센트 변화가 왜 로그 차이에 근접합니까?

미적분학의 아이디어는 선으로 부드러운 함수를 근사화 할 수 있다는 것입니다. 선형 근사치는 단순히 Taylor Series 의 처음 두 항입니다 . 주위 의 의 첫 번째 Taylor 확장 은 다음과 같습니다. $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$ 오른쪽은 단순화됩니다 .

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

따라서 1 근처에있는 의 경우, 선으로 를 근사화 할 수 있습니다. 아래는 및 의 그래프입니다 . $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

예 : . $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

이제 과 같은 두 개의 변수 및 고려하십시오 . 로그 차이는 대략 퍼센트 변화입니다 . $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

퍼센트 변화는 로그 차이의 선형 근사치입니다!

왜 로그 차이가 발생합니까?

비율 변화를 복합적으로 고려할 때 수학적으로 더 깨끗한 개념은 로그 차이 측면에서 생각하는 것입니다. 용어를 반복해서 곱하면 로그 작업을 수행하는 대신 용어를 함께 추가하는 것이 더 편리합니다.

하자의 시간에 우리의 재산은 말할 : 주어진다 그 다음 쓰기에 더 편리 할 수 있습니다 여기서 입니다. $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

백분율 변경과 로그 차이가 동일하지 않은 곳은 어디입니까?

큰 백분율 변경의 경우, 선으로 곡선 를 근사화하면 에서 멀어 질수록 로그 차이는 백분율 변화와 동일하지 않습니다 . 예를 들면 다음과 같습니다. $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

이 경우 로그 차이는 무엇입니까?

이를 생각하는 한 가지 방법은 .47의 로그 차이가 47 개의 서로 다른 .01 로그 차이의 누적과 동일하며, 이는 모두 47 %의 변화를 모두 합한 것입니다.

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

그런 다음 양변을 지수화하여

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

.47의 로그 차이는 약 47 개의 다른 1 % 증가한 복합 효과 또는 470 개의 다른 .1 % 증가한 모든 복합성 증가와 거의 같습니다.

여기에있는 몇 가지 대답은이 아이디어를보다 명확하게 만듭니다.

— 매튜 건
소스

+1,이 답변의 계획된 연속이 근사치가 분해되는 조건에 대해 논의하기를 바랍니다.

— whuber

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+1. 사소한 점을 추가하기 위해 1.6에서 1은 37.5 % 감소하고, 1에서 1.6은 60 % 증가하며, 로그 차이 0.47은 변경 방향과 무관하며 항상 0.375와 0.6 사이입니다. 변화의 방향을 모르거나 신경 쓰지 않을 경우, 로그 차이는 백분율 변화가 큰 경우에도 2 % 변화의 평균을 취하는 대안이 될 수 있습니다.

— Paul

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다음은 인형 용 버전입니다.

우리는 모델이 데이터 클라우드를 통해 간단한 직선 - - 그리고 우리가 알고 우리가 계수하는 추정하면 의 사전 가치의 증가를 것 의 증가를 초래 의 값 에서, 로서 . 그러나 단위는 실제로 절대 값에서 의미가 없습니다. $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

대신 모델을 (새로운 계수)으로 변경할 수 있습니다 . 이제 같은 단위 증가에 대 한 변경 $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

백분율 변화에 대한 영향을 확인하기 위해 지수화 할 수 있습니다 . $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ 은 (는) 상대적인 변화이며, 에서 백분율 변화. $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

질문에 대답하는 열쇠는 작은 값의 대해 , 이는 Taylor 확장의 처음 두 항을 동일하게 사용하는 것입니다. Matthew는 사용했지만 이번에는 ( Maclaurin series )가 로그와 달리 지수와 함께 작업하기 때문에 0으로 평가되었습니다. $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

또는 변수 로 을 사용하는 경우 : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

그래서 은 0 정도입니다 (테일러 시리즈를했을 때 다항식 확장을 0으로 평가했습니다). 시각적으로 $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— 안토니 파렐 라다
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귀하의 대답은 분명합니다 : 로그 차이를 백분율 변화로 해석하려면 작은 계수가 필요하지만 @aksakal의 대답은 작은 변화 (즉 lim Δx --> 0) 만 필요하다는 것을 보여줍니다 . 둘이 어떻게 동등한 지 설명해 주시겠습니까?

— towi_parallelism

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모델을 가지고 있다고 가정 해 봅시다 .

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

이제 기울기 가 이제 의 상대적 변화의 기울기 임을 알 수 있습니다 . $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

로그 변환이 없으면 의 절대 변화 기울기가 나타납니다 . $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

나는 이것이 작은 변화에 효과적이라는 것을 강조 하기 위해 를 로 대체하지 않았다 . $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— 악사 칼
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현재 답변에는 많은 훌륭한 설명이 있지만 여기에 초기 투자에 대한이자의 발생에 대한 재무 분석 측면에서 틀이 설명되어 있습니다. 연도의 기간 동안 이자율이 "복합"된 상태 에서 연간 (명 목적) 이자율 로이자를 발생시키는 초기 금액이 1 단위라고 가정합니다 . 1 년 후, 한 단위의 초기 투자 가치는 다음과 같습니다. $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

이 투자가 "복합"되는 경우가 많을수록 초기 투자에 더 많은 돈을 벌게됩니다 (복합은 관심에 관심을 갖기 때문에). 로 제한을 취하면 "지속적으로 관심을 불러 일으키는"것을 얻게됩니다. $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

양측의 로그를 취하면 . 이는 초기 투자와 초기 투자의 비율의 로그가 지속적으로 이자율임을 의미합니다. 이 결과에서 시계열 결과의 로그 차이가 지속적으로 변화율을 나타내는 것으로 해석 될 수 있음을 알 수 있습니다 . (이 해석은 aksakal 의 답변에 의해 정당화 되지만 현재의 작업은 그것을 볼 수있는 또 다른 방법을 제공합니다.) $r = \ln I(\infty)$

— 복원 모니카
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