이진 데이터의 지표 변수 : {-1,1} vs {0,1}

나는 이진 처리 할당 지시자 와 함께 실험 / 무작위 통제 시험의 맥락에서 처리-공변량 상호 작용에 관심이있다 .$T$

특정 방법 / 소스에 따라 치료 대상자와 치료하지 않은 대상에 대해 각각 및 을 모두 보았습니다 .$T=\{1,0\}$$T=\{1, -1\}$

$\{1,0\}$ 또는 을 사용할 때 경험할만한 규칙이 $\{1, -1\}$있습니까?

해석은 어떤면에서 다른가?

지표 변수의 추정량과 절편의 해석은 서로 다릅니다. 시작하겠습니다 :$\{1,0\}$

다음 모델이 있다고 가정 해보십시오.

$$y_i = \beta_0 + treatment\cdot\beta_1$$

어디

$$treatment = \begin{cases} 0 & \text{if placebo} \\ 1 & \text{if drug} \end{cases}$$

이 경우 대해 다음 공식으로 끝납니다 .$y_i$

$$y_i = \begin{cases} \beta_0 + 0\cdot\beta_1 = \beta_0 & \text{if placebo} \\ \beta_0 + 1\cdot\beta_1 = \beta_0 + \beta_1 & \text{if drug} \end{cases}$$

따라서 의 해석은 위약의 효과이고 β 1 의 해석은 위약의 효과와 약물의 효과의 차이입니다. 실제로, β 1 을 약물이 제공하는 개선으로 해석 할 수 있습니다 .$\beta_0$$\beta_1$$\beta_1$

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이제 보자 :$\{-1,1\}$

그런 다음 (다시) 다음 모델이 있습니다.

$$y_i = \beta_0 + treatment\cdot\beta_1$$

그러나 어디서

$$treatment = \begin{cases} -1 & \text{if placebo} \\ 1 & \text{if drug} \end{cases}$$

이 경우 대해 다음 공식으로 끝납니다 .$y_i$

$$y_i = \begin{cases} \beta_0 + -1\cdot\beta_1 = \beta_0 - \beta_1& \text{if placebo} \\ \beta_0 + 1\cdot\beta_1 = \beta_0 + \beta_1 & \text{if drug} \end{cases}$$

여기서 해석은 은 위약 효과와 약물 효과의 평균이며 β 1 은 두 치료의 평균과 그 평균의 차이입니다.$\beta_0$$\beta_1$

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그래서 당신은 어느 것을 사용합니까?

{ 0 , 1 } 에서 의 해석 은 기본적으로 기본입니다. 일부 표준 치료를 설정하고 다른 모든 치료 (여러 개가있을 수 있음)가 해당 표준 / 기준선과 비교됩니다. 특히 다른 공변량을 추가하기 시작하면 표준 의학적 질문과 관련하여 해석하기 쉽습니다. 이러한 약물은 위약 또는 기존 약물과 어떻게 비교됩니까?$\beta_0$$\{0,1\}$

그러나 결국 그것은 모두 해석의 문제입니다. 위에서 설명했습니다. 따라서 가설을 평가하고 결론을 이끌어내는 해석이 어떤 해석인지 확인해야합니다.

선형 회귀와 관련하여 은 이진 변수를 코딩하는보다 자연스럽고 표준적인 방법입니다 (회귀의 오른쪽에 배치하든 상관없이). @Jarko Dubbeldam이 설명했듯이 물론 다른 해석을 사용할 수 있으며 계수의 의미가 다릅니다.$x_i \in \{0, 1\}$

출력 변수를 부호화하는 예를 다른 방법으로 정제하여 프로그래밍 또는 수학 기초 도출 할 때 표준 지원 벡터 머신 . (라이브러리를 호출 할 때 라이브러리가 예상하는 형식 (아마도 0, 1 형식)으로 데이터를 전달하려고합니다.)$y_i \in \{-1, 1\}$

수행 / 사용중인 모든 작업에 표준 표기법을 사용하십시오.

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절편 항이있는 모든 종류의 선형 모형의 경우 두 방법은 간단한 선형 변환과 관련이 있다는 점에서 동일합니다. 수학적으로, 데이터 행렬 를 사용하는지 또는 데이터 행렬 을 사용하는지 ~ X = X A ( 여기서 A 는 전체 순위) 인지는 중요하지 않습니다 . 일반화 된 선형 모델에서 예상 된 계수 어느 방법은 선형 변환에 의해 관련된다 및 피팅 값 Y는 동일하다.$X$$\tilde{X} = XA$$A$$A$$\hat{y}$

이것은 더 추상적이며 (아마도 쓸모가 없지만)이 두 표현은 수학적으로 실제로 그룹 표현이며 그 사이에 동형이 있습니다.

$T$$T_1$$T_2$$T_1 \Leftrightarrow T_2$$\mathbb{Z}_2$${1,0}$${1,-1}$$a \Leftrightarrow b = 1 - (a+b)$$a \Leftrightarrow b = ab$$\phi(a) = 2*a-1$

$p$$T$$T \Leftrightarrow T'$$p' \Leftrightarrow p = pp' + (1-p)(1-p')$$t(p) = 2p-1$$t \Leftrightarrow t' = tt'$$t$