정규 분포에 대한 왜도 및 첨도 값 범위

데이터가 정규 분포로 간주되는 왜도 및 첨도 값의 범위가 무엇인지 알고 싶습니다 .

나는 많은 논쟁을 읽었으며 대부분 혼란스러워했다. 첨도에 대한 왜도 및 는 정규 분포에 허용되는 범위입니다. 일부는 왜도가 허용되는 범위 라고 말합니다 . 여기서 자세한 논의를 찾았습니다 .이 문제와 관련된 데이터의 정상적인 분포에 대한 허용 가능한 왜도 및 첨도 범위는 무엇입니까? 그러나 나는 결정적인 진술을 찾을 수 없었다.( − 2 , 2 ) ( − 1.96 , 1.96 $(-1,1)$$(-2,2)$$(-1.96,1.96)$

그러한 간격을 결정하는 기초는 무엇입니까? 이것은 주관적인 선택입니까? 아니면이 간격 뒤에 수학적 설명이 있습니까?

원래 게시물에는 몇 가지 주요 사항이 누락되었습니다. (1) "데이터"를 정규 배포 할 수 없습니다. 데이터는 반드시 이산 적입니다. 올바른 질문은 "데이터를 생성 한 프로세스가 정규 분산 프로세스입니까?"입니다. 그러나 (2) 두 번째 질문에 대한 답은 통계적 테스트 나 데이터 기반의 다른 평가가 제공하는 내용에 관계없이 항상 "아니오"입니다. 일반적으로 분포 된 공정은 표준 편차 범위 (예 : 68-95-99.7) 내에서 무한 연속성, 완벽한 대칭 및 정확하게 지정된 확률로 데이터를 생성하지만, 어떤 데이터로든 측정 할 수있는 데이터를 생성하는 프로세스에는 해당되지 않습니다. 인간이 사용할 수있는 측정 장치.

따라서 데이터를 정규 분포로 간주 할 수 없으며 데이터를 생성 한 프로세스를 정확하게 정규 분포로 처리 할 수 ​​없습니다. 그러나 Glen_b가 지적했듯이 데이터로 무엇을하려고하는지에 따라 너무 중요하지 않을 수 있습니다.

왜도 및 첨도 통계는 데이터 생성 프로세스의 정규성에서 특정 종류의 편차를 평가하는 데 도움이됩니다. 그러나 매우 가변적 인 통계입니다. 위에 주어진 표준 오차는 정규성에서만 유효하기 때문에 유용하지 않습니다. 즉, 본질적으로 쓸모없는 운동 인 정규성 검정으로 만 유용합니다. 정확한 se를 얻기 위해 큰 샘플이 필요할지라도 부트 스트랩을 사용하여 se를 찾는 것이 좋습니다.

또한 첨도는 위의 게시물과 달리 해석하기가 매우 쉽습니다. Z 값의 평균 (또는 예상 값)이며 각 값은 네 번째 거듭 제곱입니다. 큰 | Z | 가치는 특이 치이며 첨도에 크게 기여합니다. 작은 | Z | 분포의 "피크"인 값은 Z ^ 4 값을 작게하여 첨도에 전혀 영향을 미치지 않습니다. 저의 기사 https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/ 에서 첨도는 Z ^ 4 * I (| Z |> 1) 값의 평균에 매우 근접 함을 증명했습니다 . 따라서 첨도는 데이터 생성 프로세스의 경향을 측정하여 특이 치를 생성합니다.

여기서 요구 하는 것은 정상적인 모집단에서 추출한 표본의 왜도 및 첨도에 대한 표준 오차 입니다. 왜도 또는 뚱뚱한 꼬리 ( 커토 시스) 와 같은 것들을 추정하는 다양한 방법이 있으며 , 이는 표준 오차가 무엇인지에 분명히 영향을 미칩니다. 사람들이 생각하는 가장 일반적인 조치는 기술적으로 3 번째 및 4 번째 표준화 된 순간으로 알려져 있습니다.

이러한 측정 항목의 일부 복잡성을 고려할 가치가 있습니다. 전형적인 왜도 통계량은 사람들이 의심하는 방식에서 대칭의 척도가 아닙니다 (cf, here ). 첨도는 더욱 복잡 할 수 있습니다. 정규 분포의 첨도가 범위 있습니다. 결과적으로 사람들은 일반적으로 "과도 첨도"를 사용하는데, 이는 입니다. 그런 다음 범위는 입니다. 그러나 실제로 첨도는 아래에서 , 위에서부터 샘플 크기의 함수 (약 )로 제한됩니다. 또한 왜도가 아닌 경우 첨도를 해석하기가 더 어렵습니다.$[1, \infty)$$3$${\rm kurtosis} - 3$$[-2, \infty)$${\rm skewness}^2 + 1$$24/N$$0$ . 이러한 사실은 사람들이 기대하는 것보다 사용하기가 어렵습니다.

가치있는 것에 대한 표준 오류는 다음과 같습니다.

표본의 왜도 및 첨도를 일반 모집단에서 예상되는 것과 구별 할 수 있는지에 대한 문제를 제외하고 의 편차가 얼마나 큰지 묻을 수도 있습니다 . 내가 들었던 엄지 손가락의 규칙은 일반적으로 다음과 같습니다. $0$

• $<|.5|$작은
• $[|.5|, |1|)$ 매체
• $\ge |1|$큰

왜도 및 첨도에 대한 좋은 소개 개요는 여기 에서 찾을 수 있습니다 .

[다음에 나는 "샘플 왜도 및 첨도 확인, 둘 다 사전 지정된 범위 내에 있으면 정상적인 이론 절차를 사용하고, 그렇지 않으면 다른 것을 사용하십시오"와 같은 것을 제안한다고 가정합니다.]

여기에는 여러 가지 측면이 있으며 그 중 몇 가지 사항 만 고려할 공간이 있습니다. 먼저 중요한 문제가 이와 같은 기준을 사용하기 전에 살펴 봐야 할 내용을 나열하는 것으로 시작하겠습니다. 나중에 다시 돌아와서 각 항목에 대해 조금 쓰려고합니다.

고려해야 할 문제

1. 다양한 종류의 비정규 성이 우리가하는 일에 얼마나 나쁜 영향을 미칩니 까?

2. 표본 왜도 및 첨도의 범위를 사용하여 이러한 편차를 포착하는 것이 얼마나 어렵습니까?

   내가 제안에 동의한다는 것은 - 그것이 효과 크기 (관련 조치의 쌍에 보이는 얼마나 정상 편차)보다는 의미. 그런 의미에서 공식 가설 검정이 큰 표본 크기에서 사소한 편차를 거부하는 경향이있는 훨씬 유용한 공식에 가까워 질 것입니다. 작은 샘플 크기. (가설 테스트는 여기서 잘못된 질문을 해결합니다.)

   물론 작은 표본 크기에서도 측정 값이 매우 "잡음"이라는 점에서 여전히 문제가됩니다. 따라서 우리는 여전히 거기에서 길을 잃을 수 있습니다.

   왜도 또는 첨도의 편차가 우리가 원하는 정규성 문제와 어떻게 관련이 있는지 알려주지 않으며, 비정규성에 대한 반응에서 다른 절차가 상당히 다를 수 있습니다.

   정규성에서 벗어난 편차가 왜도 및 첨도가 눈에 띄는 종류 인 경우에는 도움이되지 않습니다.

3. 이 표본 통계량을 두 절차 중 하나를 결정하기위한 기초로 사용하는 경우 결과 추론의 특성에 미치는 영향은 무엇입니까 (예 : 가설 검정, 유의 수준 및 검정력이 이와 같은 모양)?

4. 정규 분포와 정확히 같은 왜도 및 첨도를 갖지만 분명히 비정규 인 분포는 무한합니다. 대칭 일 필요도 없습니다! 그러한 것들의 존재가 그러한 절차의 사용에 어떤 영향을 미칩니 까? 기업은 처음부터 파산 되었습니까?

5. 정규 분포에서 추출한 표본에서 표본 왜도 및 첨도의 변동이 어느 정도입니까? (일부 규칙에 의해 어느 정도의 일반 샘플이 나오게됩니까?)

   [이 문제는 gung이 그의 답변에서 논의한 내용과 관련이 있습니다.]

6. 대신에 더 좋은 것이 있을까요?

마지막으로, 이러한 모든 문제를 고려한 후이 접근 방식을 사용해야한다고 결정하면 귀하의 질문에서 도출 된 고려 사항에 도달합니다.

7. 다양한 절차에 대한 왜도 및 첨도에 대한 좋은 경계는 무엇입니까? 어떤 절차에서 어떤 변수를 걱정해야합니까?

   (예 : 회귀 분석을 수행하는 경우 IV 및 원시 DV를 이런 방식으로 처리하는 것은 올바르지 않습니다. 이들 중 어느 것도 일반적인 정규 분포에서 도출 된 것으로 간주되지 않습니다)

돌아와서 몇 가지 생각을 추가 하겠지만 그 동안 의견이나 질문이 있으면 유용 할 것입니다.