푸 아송 분포의 데이터에 대한 로지스틱 회귀

일부 기계 학습 노트에서 일부 차별적 분류 방법, 특히 로지스틱 회귀 분석에 대해 이야기합니다. 여기서 y는 클래스 레이블 (0 또는 1)이고 x는 데이터입니다.

만약 및 X는 | y는 1 \ SIM \ mathrm {} 포아송 (λ_1) = 다음 P (Y | X)를 물류 것이다.$x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$$x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$$p(y|x)$

왜 이것이 사실입니까?

$Y$ 는 주어진 X 값에 대해 두 가지 가능한 값을 갖습니다 $X$. 가정에 따르면

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

과

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

따라서 (이것은 베이 즈 정리의 사소한 경우입니다) 에 대해 조건부 확률이 후자 의 상대 확률, 즉$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

어디

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

과

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

그것은 실제로 표준 로지스틱 회귀 모델입니다.