중앙값이 [Mode-Mean] 밖에있는 예

이 기사 는 내 리그 위에 있지만 내가 관심있는 주제, 평균, 모드 및 중간 간의 관계에 대해 이야기합니다. 그것은 말한다 :

단봉 분포의 중앙값은 평균과 모드 사이에서 "보통"이라고 널리 알려져 있습니다. 그러나 이것은 항상 사실이 아닙니다 ...

내 질문 : 누군가 중앙값이 [모드, 평균] 간격을 벗어난 연속 단봉 형 (이상적으로 간단한) 분포의 예를 제공 할 수 있습니까? 예를 들어와 같은 배포판 mode < mean < median입니다.

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Glen_b와 Francis는 이미 좋은 대답을 얻었지만 실제로 관심이있는 것은 mode <mean <median 또는 median <mean <mode (즉, 중간이 [mode, mean] AND median이 둘 다인 예입니다) 모드의 평균과 같은 쪽 (즉, 위 또는 아래 모드 모두). 나는 여기에 대한 답변을 받아 들일 수 있고 새로운 질문이 열려 있거나 누군가가 여기에 직접 해결책을 제안 할 수 있습니까?

물론 중앙값이 평균과 모드 사이에 있지 않은 예를 찾기는 어렵지 않습니다.

1. f t ( t ) = 2 ( 1 − t ) 1 0 < t < 1 형식의 삼각 분포에서 iid를 고려하십시오.$T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   이제하자 60-40의 혼합물 일 T 1 과 - 4 T 2 .$X$$T_1$$-4T_2$

   의 밀도는 다음과 같습니다.$X$

   

   평균은 0보다 낮고 모드는 0이지만 중앙값은 0보다 큽니다. 약간만 수정하면 cdf가 아닌 밀도조차 연속적이지만 위치 측정 간의 관계는 다음과 같습니다. 동일 (편집 : 아래 3. 참조).

2. 일반화 하여, 전체 확률 의 비율 ( 0 < p < 1 )를 오른쪽 삼각형 에, 왼쪽 삼각형에 비율 를 (0.6 및 0.4 대신 넣겠습니다. 우리는 전에했다). 또한 왼쪽 절반의 가 아닌 ( ) 배율을 조정하십시오 .$p$$0<p<1$- β - 4 β > $(1-p)$$-\beta$$-4$$\beta>0$

   

   이제 라고 가정하면 중앙값은 항상 직각 삼각형이 적용되는 간격에 있으므로 중앙값이 모드를 초과합니다 (항상 ). 특히 인 경우 중앙값은 입니다. 0p>$p>\frac12$$0$ 1−1/$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   평균은 있습니다.$(p - \beta(1-p))/3$

   경우에는 경우에는 그 평균 모드 이하, 것이다 β < P / ( 1 - P ) 의 평균은 상기 모드 일 것이다.$\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   반면에, 우리는 ( p − β ( 1 − p ) ) / 3 < 1 − 1 / √를 원합니다평균을 중앙값 아래로 유지하려면 2 p 를 누릅니다.$(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   고려하십시오 . 이것은 중앙값을 모드 위에 놓는다.$p=0.7$

   그런 다음 는 β < p / ( 1 - p )를 만족 하므로 평균이 모드 위에 있습니다.$\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   중간이에서 실제로 평균은 동안 0.7 - 2 ( 0.3 $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$. 따라서p=0.7및인 경우 모드 <mean <median입니다.$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   (NB 내 표기법과 일관성을 유지하기 위해 두 플롯의 x 축 변수 는 아니라 여야 하지만 돌아가서 수정하지는 않습니다.)$x$$t$

3. 밀도 자체가 연속적인 예입니다. 위의 1과 2의 접근 방식을 기반으로하지만 "점프"가 가파른 경사로 바뀐 다음 오른쪽 경사로 보이는 예를 원하기 때문에 전체 밀도가 약 0으로 바뀝니다.

   

   [은 "삼각 밀도의 혼합물을 사용"접근이 이제 우리는 15 %가 제 1 절에서 설명 된 삼각형 형태의 3 독립 스케일링 variates의 혼합물로서 생성 될 수 60 % - 3 T (2) 25 % (5) T 3. ]$T_1$$-3T_2$$5T_3$

   위의 다이어그램에서 볼 수 있듯이 평균은 요청대로 중간에 있습니다.

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4. m_t_는 주석에서 Weibull을 언급합니다 (중간 값이 벗어남)$[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   특히,와 이블 모양 모수의 값이 작은 경우 분포가 오른쪽으로 치우쳐지고, 우리는 모드와 평균 사이의 중간 값의 중간 상황이 있으며,와 이블 모양 모수의 값이 크면 분포가 왼쪽으로 치우칩니다. 우리는 다시 "중간에 중앙값"상황을 갖습니다 (그러나 이제는 평균이 아닌 오른쪽에있는 모드로). 이러한 경우 사이에 중앙값이 평균 모드 간격을 벗어나는 작은 영역이 있으며 그 중간에 평균과 모드가 교차합니다.

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   위의 (1)과 (2)로 표시된 간격에서 위치 매개 변수에 대한 편리한 값을 선택하면 위치 통계 사이의 간격이 거의 같습니다.

   

   이것들은 요구 사항을 충족 시키지만 불행히도 3 개의 위치 매개 변수가 너무 가깝기 때문에 시각적으로 구별 할 수 없으므로 (모두 같은 픽셀에 빠짐) 조금 실망 스럽습니다. 이전 예제의 경우가 훨씬 더 많습니다. 분리. 그럼에도 불구하고 상황에 따라 다른 분포로 조사해야하는 상황이 제시되고 일부는 시각적으로 더 뚜렷한 결과를 제공 할 수 있습니다.

다음 예는 Jordan Stoyanov의 확률에 대한 반례에서 발췌 한 것입니다 .

$c$$\lambda$$X$

$$f(x)=\begin{cases}ce^{-\lambda(x-c)}, & x\in(c, \infty) \\ x, & x\in(0, c] \\ 0, & x\in(-\infty,0].\end{cases}$$ $\mu$$m$$M$$X$ $$\mu=\frac{c^3}{3}+\frac{c^2}{\lambda}+\frac{c}{\lambda^2},\qquad m=1,\qquad M=c.$$ $f(x)$ $$\frac{c^2}{2}+\frac{c}{\lambda}=1.$$ $c\to1$$\lambda\to2$$c>1$$1$$1.0001$$\mu>c$$M=c$$m$$\mu$$M$

0 <= x <무한대에 대해 비율 매개 변수 a 및 밀도 exp (-ax)를 사용하여 지수 분포를 취하십시오. 모드가 0입니다. 물론 평균과 중앙값은 0보다 큽니다. cdf는 1-exp (-ax)입니다. 따라서 x의 exp (-ax) = 0.5에 대한 중앙값 풀의 경우. 그런 다음 -ax = ln (0.5) 또는 x = -ln (0.5) / a입니다. 평균은 0에서 무한대까지 ax exp (-ax)를 적분합니다. a = 1을 취하면 중앙값 = -ln (0.5) = ln (2)이고 평균은 1입니다.

따라서 모드 <median <mean.