문자열 길이와 가능한 문자를 기반으로 한 간단한 조합 / 확률 질문

"완전한 임의성"을 가정하고 각 문자가 62 개의 가능한 문자 중 하나 일 수있는 길이가 20자인 문자열이 제공됩니다.

• 가능한 총 조합 수는 얼마입니까? (20을 62의 거듭 제곱으로 추측)
• 또한 새 문자열을 하나씩 무작위로 선택하여 지금까지 선택한 문자열 목록에 추가 한 경우 이미 선택된 문자열을 선택하기 전에 몇 개의 문자열을 선택해야합니까?$10^{-5}$)?

참고 : 62는 숫자 (0-9), 대문자 (AZ) 및 소문자 (az)에서 비롯됩니다.

총 가능성

1) 닫습니다! 첫 번째 캐릭터는 62 개, 두 번째 캐릭터는 62 개 중에서 선택할 수 있습니다.$62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot \cdots 62 = 62^{20}$이는 엄청나게 큰 숫자입니다.

"대상"문자열과의 충돌

2) 위에서 설정 한대로 $62^{20}$잠재적 인 문자열. "대상"문자열을 추측 할 확률이 10 만 분의 1로 1보다 낫다고 추측해야하는 사람 수를 알고 싶습니다. 본질적으로, 당신은 무엇을 요구하고 있습니다

$$\frac{x}{62^{20}} \ge \frac{1}{10^5}$$ 그것을 알아 내기 위해서는 x를 반올림해야합니다 (또는 정확하게 같으면 하나를 추가해야하지만) 잠시 후에 볼 수 있듯이 실제로 중요하지 않습니다.

기본 대수를 통해

$$\begin{aligned} 10^5x &\ge 62^{20}\\ 10^5{x} &\ge (6.2 \cdot 10)^{20}\\ 10^5x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{20}\\ x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}$$

수학을하면 $6.2^{20}$ 에 관한 것입니다 $7 \cdot 10^{15}$그래서 모든 것을 불러 봅시다. $7 \cdot 10^{30}$ 또는 더 간결하게 말해서, 전체적으로 많은 것들.

물론 긴 암호가 실제로 잘 작동하는 이유는 다음과 같습니다.

목록에 중복

이제 다른 시나리오를 생각해 봅시다. 문자열은 무작위로 생성되며 두 문자열이 일치 할 확률이 1 : 100,000가되기 전에 생성 할 수있는 수를 결정하려고합니다. 이 문제의 고전적인 버전을 생일 문제 (또는 '패러독스')라고하며 n 명 중 2 명이 같은 생일을 가질 확률을 묻습니다. wikipedia article [1]은 괜찮아 보이고 유용 할만한 몇 가지 테이블이 있습니다. 그럼에도 불구하고, 나는 당신에게도 여기에 대한 답을 맛 보도록 노력할 것입니다.

명심해야 할 사항 :

-일치 할 확률과 일치하지 않을 확률은 1이어야합니다. $P(\textrm{match}) = 1 - P(\textrm{no match})$ 그 반대.

두 개의 독립적 인 이벤트 $A$ 과 $B$, 확률 $P(A \& B) = P(A) \cdot P(B)$.

답을 얻으려면 고정 된 수의 문자열과 일치하지 않는 확률을 계산하여 시작하겠습니다. $k$. 이를 수행하는 방법을 알고 나면 해당 방정식을 임계 값 (1 / 100,000)과 동일하게 설정하고$k$. 편의를 위해 전화합시다$N$ 가능한 문자열 수 ($62^{20}$).

우리는 목록을 아래로 걸어 가서 확률을 계산할 것입니다. $k$^ {th} 문자열은 목록에서 "위"에있는 문자열과 일치합니다. 첫 번째 문자열에는$N$ 전체 문자열과 목록에 아무것도 없으므로 $P_{k=1}(\textrm{no match}) = \frac{N}{N} = 1$. 두 번째 줄에는 여전히$N$ 전체 가능성이지만 그 중 하나가 첫 번째 문자열에서 "사용"되었으므로이 문자열과 일치 할 확률은 $P_{k=2}(\textrm{no match}) = \frac{N-1}{N}$ 세 번째 문자열의 경우 두 가지 방법으로 일치시킬 수 있습니다. $N-2$ 하지 않는 방법 $P_{k=3}(\textrm{no match}) = \frac{N-2}{N}$등등. 일반적으로$k$다른 문자열과 일치하지 않는 문자열은

$$P_{k}(\textrm{no match})= \frac{N-k+1}{N}$$

그러나 우리는 $k$문자열. 모든 사건이 독립적이므로 (질문에 따라) 다음과 같이 이러한 확률을 곱할 수 있습니다.

$$P(\textrm{No Matches}) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N} \cdots \frac{N-k+1}{N}$$ 그것은 조금 단순화 될 수있다 : 첫 번째 단계는 분수를 곱한 것이고 두 번째 단계는 계승의 정의 ( ) 의 곱을 좀 더 관리하기 쉬운 것으로 바꾸고 마지막 단계는 이항 계수로 바꿉니다. 이것은 문자열 을 생성 한 후 전혀 일치하지 않을 확률에 대한 방정식을 제공합니다 . 이론적으로는 과 동일하게 설정할 수 있습니다. $$\begin{aligned} P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-k+1)}{N^k} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N!}{N^k \cdot (N-k)!} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{k! \cdot \binom{N}{k}}{N^k} \\ \end{aligned}$$ $k! = (k) \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1$$N-k+1 \cdots N$$k$$\frac{1}{100,000}$및 풀기 . 실제로, 당신은 거대한 숫자로 곱하거나 나누기 때문에 답하기가 어려울 것입니다-팩토리얼은 정말 빠르게 커집니다 ( 은 150 자리 이상입니다).$k$$100!$

그러나 계승 계산과 전체 문제에 대한 근사치가 있습니다. 이 논문 [2]은 제안합니다. 여기서 p는 일치하지 않는 확률입니다. 그의 테스트는 최대치 이지만 여전히 정확합니다. 당신의 숫자를 연결하면 약 됩니다.

$$k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2N\ln(p)}$$ $N=48,000$$3.7 \cdot 10^{15}$

참고 문헌

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

[2] Mathis, Frank H. (1991 년 6 월). "일반적인 생일 문제". SIAM 검토 (산업 및 응용 수학을위한 사회) 33 (2) : 265–270. JSTOR 링크