누적 분포 함수가 올바른 연속성을 어떻게 증명할 수 있습니까?

확률 과정 에서 랜덤 변수 의 누적 분포 함수 가 연속적 이라는 것을 배웠습니다 . 그것을 증명할 수 있습니까? $F$ $X$

probability

— 블라 타 마니
소스

분포 함수의 올바른 연속성을 증명하려면 확률 코스 중 하나에서 입증 된 의 연속성을 사용해야합니다 . $P$

렘마 만약 이벤트의 시퀀스 의미에서 감소 모든 대 후, 에서 입니다. $\{A_n\}_{n\geq 1}$ $A_n\supset A_{n+1}$ $n\geq 1$ $P(A_n)\downarrow P(A)$ $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

Lemma를 사용합시다. 분포 함수 어떤 점에서 연속 적합한 경우에만 실수마다 감소 시퀀스의 경우 되도록 우리가 . $F$ $a$ $\{x_n\}_{n\geq 1}$ $x_n\downarrow a$ $F(x_n)\downarrow F(a)$

대해 이벤트를 정의하십시오 . 임을 증명할 것입니다 $A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$ $n\geq 1$

⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} = {ω : X (ω) \leq a} .

$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$

한 방향으로, 만일 모든 대 , 사람 , 우리가 . $X(\omega)\leq x_n$ $n\geq 1$ $x_n\downarrow a$ $X(\omega)\leq a$

다른 방향의 경우 보낸 각각 , 우리가 마다 들면 . $X(\omega)\leq a$ $a\leq x_n$ $n\geq 1$ $X(\omega)\leq x_n$ $n\geq 1$

Lemma를 사용한 결과는 다음과 같습니다.

F (x_{n}) = P {X \leq x_{n}} = P (A_{n}) ↓ P (\cap_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = P {X \leq a} = F (a) .

$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$

— 선
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