역 생일 문제 : 백만 명의 외계인 중 한 명이 생일을 공유하지 않습니다. 그들의 연도는 얼마입니까?

일이 매우 긴 행성을 가정합니다 . 한 방의 파티에는 백만 명의 외계인이 있으며 생일을 공유하는 사람은 없습니다. 의 크기에 대해 추론 할 수있는 것은 무엇입니까 ? $N$ $N$

(이보다 간결한 질문은 이 잘못 표현 된 질문보다 우선 합니다. )

probability birthday-paradox

— 폴 우사 크
소스

생일 문제는 하나 이상의 일치 확률이 지정된 값보다 큰 N 값을 알려줍니다. p = 1 / 2 일 때, 이것은 n = 23을 준다는 것을 직감하는 것은 놀라운 일이다. 이것은 각각의 생일이 동일한 균일 확률 (1/365)을 갖는다 고 가정한다. 불균일성은 단지 n을 더 작게 만든다. 이제 귀하의 문제에서 N은 365를 대체하는 것으로 보이며 균일 성 가정이 유지된다고 가정합니다.

— Michael R. Chernick

N <= 1,000,000이면 최소 1 개의 일치 확률은 1이므로 0 개의 일치 확률은 0입니다.

— Michael R. Chernick

따라서 N> 1,000,000 일 때 적어도 1 개의 일치 확률은 <1이므로 확률이 0이기 시작합니다.

— Michael R. Chernick

@Michael 설명 및 기타 부수적 토론 요청에 대한 의견을 남겨 주시고 한 번에 하나씩 만 게시하십시오. 글자 수 한도에 대한 충분한 이유가 있습니다. 여러 의견이 필요한 실질적인 내용에 대해 토론하고 있다면 아마도 질문에 대한 답변을하려는 것일 수도 있습니다. 따라서 답변을 게시 할 수도 있습니다.

— whuber

모든 생일이 똑같고 생일이 독립적이라고 가정하면 외계인이 생일을 공유하지 않을 확률 은 $k+1$

피 (케이; 엔) = 1 (1 - \frac{1}{엔}) (1 - \frac{2}{엔}) \dots (1 - \frac{케이}{엔}) .

$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$

가 보다 훨씬 작 으면 로그를 무조건 요약 할 수 있습니다 . $k$ $N$

\begin{matrix} (1) & 로그 (피 (케이; 엔)) = - \frac{케이 (케이 + 1)}{2 엔} - \frac{케이 + 삼 {케이}^{2} + 2 {케이}^{삼}}{12 엔^{2}} - 영형 ({케이}^{4} 엔^{- 삼}) . \end{matrix}

$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$

일하기 확신 덜 일부 값보다 , 우리가 필요 보다 클 수 없음 . 소형 보장 보다 큰 $100-100\alpha\%$ $N$ $N^{*}$ $(1)$ $\log(1-\alpha)$ $\alpha$ $N$ $k$ 우리는 대략 수 어디서, 정확하게로 . 이 결과 $(1)$ $-k^2/(2N)$

- \frac{{케이}^{2}}{2 엔} > 로그 (1 - α),

$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$

암시

\begin{matrix} (2) & 엔 > \frac{- {케이}^{2}}{2 로그 (1 - α)} \approx \frac{{케이}^{2}}{2 α} = 엔^{※} \end{matrix}

$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$

작은 . $\alpha$

예를 들어, 문제 에서처럼 이고 ( 해당하는 일반 값) $k=10^6-1$ $\alpha=0.05$ $95\%$ 신뢰) 제공 . $(2)$ $N \gt 10^{13}$

다음은이 결과에 대한보다 광범위한 해석입니다. 식 에서 근사치없이 , 우리는 얻는다 . 이를 위해 만 생일에 충돌의 확률은 (근사 계산없이)은 본질적으로 우리의 임계 값과 동일한 . 따라서이 보다 크거나 큰 의 경우 $(2)$ $N=9.74786\times 10^{12}$ $N$ $p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$ $95\%$ $N$ $95\%$ 또는 가능성이 우리가 알고있는 것과 일치 아무 충돌이있을 수 없을 것이다, 그러나 어떤 작은을위한 $N$ 위 충돌의 기회를 얻을 수 우리가 과소 평가했을 수도 두려워하기 시작, . $100 - 95= 5\%$ $N$

또 다른 예로서, 전통적인 생일 문제 에서 명 에서 의 충돌 이 없을 확률과 명 에서 의 충돌이 없을 확률 이있다. 이 숫자는 이 올바른 값 의 범위에서 각각 과 을 초과해야 함을 나타 냅니다. 이것은 매우 작은 에서도 이러한 근사하고 점근 적 결과가 얼마나 정확한지 보여줍니다 (작은 ). $4\%$ $k=6$ $5.6\%$ $k=7$ $N$ $360$ $490$ $366$ $k$ $\alpha$

— 우버
소스

나는 이런 대답을 할 준비가되어 있지 않았다. 숫자를 사용하면이 큰 근사값을 계산하기가 더 쉬울 수 있습니다. Wikipedia는 k 명의 사람들 (외계인)과 함께 N에 대한 근사와 한계를 보여주는 일반적인 생일 문제를 제시합니다. 나는 첫 번째 방정식과 같은 공식을 가졌습니다.

— Michael R. Chernick

내 질문은 N이 100 % 신뢰에 도달하기 위해 얼마나 커야 하는가하는 것입니다. 나는 그것이 10 ^ 18과 같은 것이라고 생각합니다.

— Michael R. Chernick

@MichaelChernick 100 % 신뢰를 위해 N은 무한대로갑니다. 유한 한 해와 외계인이 2 명 이상인 파티의 경우 같은 생일을 가진 두 외계인의 확률은 항상 0보다 큽니다.

— Pere

@ 페레 예, 그것을 찾아 주셔서 감사합니다. 바로 해결하겠습니다. 게시물의 나머지 부분에는 아무런 차이가 없었습니다.

— whuber

@Paul Uszak Pere의 답변 (현재 삭제됨)에 대한 귀하의 의견이 너무 가혹하다고 생각합니다. 나는 그의 대답이 선의로 주어 졌다고 생각합니다. 그는 유용한 근사치를 제공함으로써 당신에게 도움이 되려고 노력했습니다. 그는 나중에 whuber의 답변을보고 더 완전하고 자신의 답변을 삭제하기로 결정했습니다. 자세한 답변을 기대하지 않는 것에 대한 그의 의견은 당신이 그것을 해석하는 방식을 의미하지 않았습니다. 이것은 어려운 문제입니다. 게시물을 이해하기 쉽게 다시 작성해야했습니다. 나는 그가 이와 같은 문제를 농담으로 해결하지 않을 것이라고 확신합니다.

— Michael R. Chernick