직관 (기하학적 또는 기타)

18

분산의 기본 정체성을 고려하십시오.

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [(X - E [X])^{2}] \\ = & . . . \\ = & E [X^{2}] - (E [X])^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& E[(X - E[X])^2]\\ &=& ...\\ &=& E[X^2] - (E[X])^2 \end{eqnarray}$

중심 모멘트를 중심이 아닌 모멘트로 정의하는 간단한 대수적 조작입니다.

다른 상황에서 를 편리하게 조작 할 수 있습니다. 또한 평균을 계산 한 다음 분산을 계산하기 위해 두 패스가 아닌 단일 패스 데이터를 통해 분산을 계산할 수도 있습니다. $Var(X)$

그러나 그것은 무엇을 의미 합니까? 나에게 평균 0에 대해 퍼지는 평균에 대한 스프레드와 관련된 즉각적인 기하학적 직관은 없습니다. 는 단일 차원에 대한 집합이므로 평균 주위의 스프레드를 원점과 사각형의 제곱 사이의 차이로 어떻게 볼 수 있습니까? 평균? $X$

이 선형성에 대한 통찰력을 제공 할 수있는 선형적인 대수 해석, 물리적 해석 또는 기타가 있습니까?

variance descriptive-statistics intuition

— 미치
소스

7

힌트 : 이것은 피타고라스 정리입니다.

— whuber

1

@Matthew " "가 무슨 뜻 인지 궁금합니다 . 나는 그것을 의심 하지 하지만 단지 속기 산술 평균에 대한, 기대. 그렇지 않으면 방정식은 부정확합니다 (그리고 임의의 변수를 숫자와 동일시하기 때문에 거의 의미가 없습니다).

E

$E$

— whuber

2

@whuber 내부 제품은 거리와 각도에 대한 아이디어를 소개하고 실제 임의 변수의 벡터 공간의 내부 제품은 (?) 로 정의되므로 기하학적 직관을 통해 어떤 기하학적 직관을 얻을 수 있는지 궁금합니다. 삼각형 불평등. 어떻게 진행해야할지 모르겠지만 그것이 말이되는지 궁금합니다.

E [X Y]

$\mathbb E[XY]$

— Antoni Parellada

1

@Antoni 삼각 부등식이 너무 일반적입니다. 내부 제품은 훨씬 더 특별한 대상입니다. 다행히도 적절한 기하학적 직관은 정확하게 유클리드 기하학의 직관입니다. 더욱이, 랜덤 변수 및 의 경우에도 , 필요한 기하학적 구조는 및 의해 생성 된 2 차원 실제 벡터 공간 , 즉 유클리드 평면 자체에 한정 될 수있다 . 본 예에서 는 RV 인 것처럼 보이지 않으며 단지 벡터 일 뿐이다 . 여기서 와 걸쳐있는 공간은 모든 형상이 발생하는 유클리드 평면입니다.

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

n

$n$

X

$X$

(1, 1, \dots, 1)

$(1,1,\ldots, 1)$

— 우버

3

내가 링크 한 답장에 을 설정 하고 모든 용어를 (원하는 경우)으로 나누면 분산에 대한 완전한 대수적 솔루션을 얻을 수 있습니다. 다시 복사 할 이유가 없습니다. 그것은 이 의 산술 평균 이기 때문입니다 . 는 여기에서 정의한 분산의 배에 불과 합니다. 는 배입니다 제곱 산술 평균이며, 는 제곱 값의 산술 평균의 배입니다.

{\hat{β}}_{1} = 0

$\hat\beta_1=0$

n

$n$

{\hat{β}}_{0}

$\hat\beta_0$

y

$y$

| | y - \hat{y} | |^{2}

$||y-\hat y||^2$

n

$n$

| | \hat{y} | |^{2}

$||\hat y||^2$

n

$n$

| | y | |^{2}

$||y||^2$

n

$n$

— whuber

21

주석에서 @whuber의 요점을 확장하면 와 가 직교하면 피타고라스 정리가 있습니다 . $Y$ $Z$

‖ Y ‖^{2} + ‖ Z ‖^{2} = ‖ Y + Z ‖^{2}

$\|Y\|^2 + \|Z\|^2 = \|Y + Z\|^2$

그 관찰 유효하다 내적 그 는 해당 내부 제품에 의해 유도 된 표준 입니다. $\langle Y, Z \rangle \equiv \mathrm{E}[YZ]$ $\|Y\| = \sqrt{\mathrm{E}[Y^2]}$

하자 어떤 임의의 변수가 될. 하자 ,하자 . 만약 및 직교 : $X$ $Y = \mathrm{E}[X]$ $Z = X - \mathrm{E}[X]$ $Y$ $Z$

\begin{aligned} ‖ Y ‖^{2} + ‖ Z ‖^{2} = ‖ Y + Z ‖^{2} \\ \Leftrightarrow & E [E [X]^{2}] + E [(X - E [X])^{2}] = E [X^{2}] \\ \Leftrightarrow & {E [X]}^{2} + V a r [X] = E [X^{2}] \end{aligned}

$\begin{align*} & \|Y\|^2 + \|Z\|^2 = \|Y + Z\|^2 \\ \Leftrightarrow \quad&\mathrm{E}[\mathrm{E}[X]^2] + \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}[X])^2] = \mathrm{E}[X^2] \\ \Leftrightarrow \quad & \mathrm{E[X]}^2 + \mathrm{Var}[X]= \mathrm{E}[X^2] \end{align*}$

그리고 보여 쉽게 및 있는 직교 이 내적 미만 : $Y = \mathrm{E}[X]$ $Z = X - \mathrm{E}[X]$

⟨ Y, Z ⟩ = E [E [X] (X - E [X])] = E [X]^{2} - E [X]^{2} = 0

$\langle Y, Z \rangle = \mathrm{E}[\mathrm{E}[X]\left(X - \mathrm{E}[X] \right)] = \mathrm{E}[X]^2 - \mathrm{E}[X]^2 = 0$

삼각형의 다리 중 하나는 이고 다른 다리는 이며 빗변은 입니다. 피타고라스 정리는 비정규 랜덤 변수가 평균과 직교하기 때문에 적용될 수 있습니다. $X - \mathrm{E}[X]$ $\mathrm{E}[X]$ $X$

기술적 인 말 :

$Y$ 이 예에서 는 실제로 벡터 이어야합니다. 즉, 스칼라 곱하기 상수 벡터 (예 : 이산적이고 유한 한 결과 경우). 는 상수 벡터 에 대한 의 벡터 투영 입니다 . $Y = \mathrm{E}[X] \mathbf{1}$ $\mathrm{E}[X]$ $\mathbf{1}$ $\mathbf{1} = [1, 1, 1, \ldots, 1]'$ $Y$ $X$ $\mathbf{1}$

간단한 예

경우 고려 A는 베르누이 랜덤 변수 여기서 . 우리는 : $X$ $p = .2$

X = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] P = [\begin{matrix} .2 \\ .8 \end{matrix}] E [X] = \sum_{i} P_{i} X_{i} = .2

$X = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad P = \begin{bmatrix} .2 \\ .8 \end{bmatrix} \quad \mathrm{E}[X] = \sum_i P_iX_i = .2$

Y = E [X] 1 = [\begin{matrix} .2 \\ .2 \end{matrix}] Z = X - E [X] = [\begin{matrix} .8 \\ - .2 \end{matrix}]

$Y = \mathrm{E}[X]\mathbf{1} = \begin{bmatrix} .2 \\ .2 \end{bmatrix} \quad Z = X - \mathrm{E}[X] = \begin{bmatrix} .8 \\ -.2 \end{bmatrix}$

그리고 사진은 :

빨간색 벡터 의 제곱 크기 는 의 분산이고 , 파란색 벡터의 제곱 크기는 이며 노란색 벡터의 제곱 크기는 . $X$ $\mathrm{E}[X]^2$ $\mathrm{E}[X^2]$

기억 이 크기, 직교성 등이 ... 보통의 내적에 대한 아니라는 것을 비록 하지만 내적 . 노란색 벡터의 크기는 1이 아니고 0.2입니다. $\sum_i Y_iZ_i$ $\sum_i P_iY_iZ_i$

빨간색 벡터 및 파란색 벡터 는 내부 곱 에서 수직 이지만 소개에서는 수직 이 아닙니다 . 고등학교 기하학 감각. 우리는 일반적인 내적 제품 를 내부 제품으로 사용하지 않는다는 것을 기억하십시오 ! $Y = \mathrm{E}[X]$ $Z = X - \mathrm{E}[X]$ $\sum_i P_i Y_i Z_i$ $\sum_i Y_i Z_i$

— 매튜 건
소스

정말 좋습니다!

— Antoni Parellada

1

정답 (+1)이지만 수치가 부족하고 Z가 X이기 때문에 OP에 약간 혼란 스러울 수 있습니다.

— amoeba는 Reinstate Monica

@ MatthewGunn, 좋은 대답입니다. 직교성이 유클리드 의미 인 표현에 대해서는 아래의 답변을 확인할 수 있습니다.

— YBE

나는 둔하게하는 것을 싫어하지만 , 및 논리의 방향을 똑바로 유지하는 데 어려움을 겪고 있습니다 ( '나에게 이해가되지 않는 장소에서 왔습니다'). 많은 (잘 입증 된) 사실들이 무작위로 언급 된 것 같습니다. 내부 제품은 어떤 공간에 있습니까? 왜 1 입니까?

Z

$Z$

V a r (X)

$Var(X)$

— Mitch

@Mitch 논리적 순서는 다음과 같습니다. (1) 확률 공간이 벡터 공간을 정의하는지 확인합니다. 랜덤 변수를 벡터로 취급 할 수 있습니다. (2) 랜덤 변수 와 의 내부 곱을 로 정의하십시오 . 내부 제품 공간에서 벡터 와 는 내부 제품이 0 인 경우 직교로 정의됩니다. (3a) 임의의 변수로 설정하십시오. (3b) 및 하자 . (4) 이런 식으로 정의 된 와 가 직교 함을 관찰하십시오 . (5) 와 이후

Y

$Y$

Z

$Z$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Y

$Y$

Z

$Z$

X

$X$

Y = E [X]

$Y = E[X]$

Z = X - E [X]

$Z = X - E[X]$

Y

$Y$

Z

$Z$

Y

$Y$

Z

$Z$ 피타고라스 정리가 적용된다. (6) 간단한 대 수법에 의해 피타고라스 정리는 동일성과 동일하다.

— Matthew Gunn

7

매우 구체적인 시나리오에 대해 순전히 기하학적 인 접근 방식을 사용하겠습니다. 확률 값이 값을 취하는 이산 값 랜덤 변수 를 고려해 봅시다 . 또한이 임의의 변수는 에 벡터, 로 표현 될 수 있다고 가정합니다 . $X$ $\{x_1,x_2\}$ $(p_1,p_2)$ $\mathbb{R}^2$ $\mathbf{X} = \left(x_1\sqrt{p_1},x_2\sqrt{p_2} \right)$

공지의 길이 제곱 것을 있다 같다 . 따라서 입니다. $\mathbf{X}$ $x_1^2p_1+x_2^2p_2$ $E[X^2]$ $\left\| \mathbf{X} \right\| = \sqrt{E[X^2]}$

이후 , 벡터의 끝 실제로 타원을 추적한다. 과 가 및 로 다시 매개 변수화되는지 쉽게 알 수 있습니다 . 따라서 및 입니다. $p_1+p_2=1$ $\mathbf{X}$ $p_1$ $p_2$ $\cos^2(\theta)$ $\sin^2(\theta)$ $\sqrt{p_1} =\cos(\theta)$ $\sqrt{p_2} = \sin(\theta)$

타원을 그리는 한 가지 방법은 아르키메데스의 Trammel 이라는 메커니즘을 이용하는 것 입니다. 위키에 설명 된대로 : 수직 채널 또는 레일에 한정된 ( "트레 멜링 된") 두 개의 셔틀과로드를 따라 고정 된 위치에서 피벗으로 셔틀에 부착되는로드로 구성됩니다. 셔틀이 채널을 따라 앞뒤로 움직일 때로드의 끝이 타원형 경로로 이동합니다. 이 원칙은 아래 그림에 설명되어 있습니다.

이제 수직 셔틀이 있고 수평 셔틀이 때 각도 가질 때이 트램 멜의 한 인스턴스를 기하학적으로 분석해 봅시다 . 구성으로 인해 및 , (여기서 는 wlog로 가정) $A$ $B$ $\theta$ $\left|BX\right| = x_2$ $\left| AB \right| = x_1-x_2$ $\forall \theta$ $x_1\geq x_2$

원점 에서 선 에 수직 인 선을 그리자. 하나는 것을 보여줄 수 . 이 특정 랜덤 변수 따라서, 수직 거리원점에서 막대까지는 실제로 표준 편차 . $OC$ $\left| OC \right|=(x_1-x_2) \sin(\theta) \cos(\theta)$

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & (x_{1}^{2} p_{1} + x_{2}^{2} p_{2}) - (x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2})^{2} \\ = & x_{1}^{2} p_{1} + x_{2}^{2} p_{2} - x_{1}^{2} p_{1}^{2} - x_{2}^{2} p_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} p_{1} p_{2} \\ = & x_{1}^{2} (p_{1} - p_{1}^{2}) + x_{2}^{2} (p_{2} - p_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} p_{1} p_{2} \\ = & p_{1} p_{2} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) \\ = & {[(x_{1} - x_{2}) \sqrt{p_{1}} \sqrt{p_{2}}]}^{2} = {| O C |}^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& (x_1^2p_1 +x_2^2p_2) - (x_1p_1+x_2p_2)^2 \\ &=& x_1^2p_1 +x_2^2p_2 - x_1^2p_1^2 - x_2^2p_2^2 - 2x_1x_2p_1p_2 \\ &=& x_1^2(p_1-p_1^2) + x_2^2(p_2-p_2^2) - 2x_1x_2p_1p_2 \\ &=& p_1p_2(x_1^2- 2x_1x_2 + x_2^2) \\ &=& \left[(x_1-x_2)\sqrt{p_1}\sqrt{p_2}\right]^2 = \left|OC \right|^2 \end{eqnarray}$

| O C |

$\left|OC \right|$

σ

$\sigma$

우리가에서 세그먼트의 길이를 계산하면 에 : $C$ $X$

\begin{array}{rcl} | C X | & = & x_{2} + (x_{1} - x_{2}) \cos^{2} (θ) \\ = & x_{1} \cos^{2} (θ) + x_{2} \sin^{2} (θ) \\ = & x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} = E [X] \end{array}

$\begin{eqnarray} \left|CX\right| &=& x_2 + (x_1-x_2)\cos^2(\theta) \\ &=& x_1\cos^2(\theta) +x_2\sin^2(\theta) \\ &=& x_1p_1 + x_2p_2 = E[X] \end{eqnarray}$

삼각형 OCX에 피타고라스 정리를 적용하면

E [X^{2}] = V a r (X) + E [X]^{2} .

$\begin{equation} E[X^2] = Var(X) + E[X]^2. \end{equation}$

요약하면 , 값을 취하는 가능한 모든 불연속 랜덤 변수를 설명하는 trammel의 경우 는 원점에서 메커니즘의 끝까지의 거리와 표준 편차입니다. 는로드까지의 수직 거리입니다. $\{x_1,x_2\}$ $\sqrt{E[X^2]}$ $\sigma$

참고 : 가 또는 경우 는 완전히 결정적입니다. 경우 IS 우리는 최대 편차로 끝낸다. $\theta$ $0$ $\pi/2$ $X$ $\theta$ $\pi/4$

— YBE
소스

1

+1 좋은 답변. 그리고 확률의 제곱에 벡터를 곱하는 것은 일반적인 확률 성 직교성 개념을 직교로 보이게하는 멋진 / 유용한 트릭입니다!

— Matthew Gunn

훌륭한 그래픽. 기호는 모두 의미가 있지만 (타원을 기술 한 트램 멜과 피타고라스의 Thm이 적용됨) 어쨌든 나는 그것이 어떻게 '매직 적으로'순간 (스프레드와 중심)과 관련되는지에 대한 아이디어를 주는지 직관적으로 이해 하지 못하고 있습니다.

— Mitch

가능한 모든 값의 랜덤 변수 를 정의하는 프로세스로 trammel을 고려하십시오 . 막대가 수평 또는 수직 일 때 결정적 RV가 있습니다. 중간에는 무작위성이 있으며, 제안 된 기하학적 프레임 워크에서 막대의 원점까지의 거리에 의해 RV (std)가 얼마나 무작위로 측정되는지가 밝혀졌습니다. 타원 곡선이 수학에서 다양한 객체를 연결하기 때문에 더 깊은 관계가있을 수 있지만 수학자가 아니므로 그 연결을 실제로 볼 수는 없습니다.

(x_{1}, x_{2})

$(x_1,x_2)$

— YBE

3

다음과 같이 재 배열 할 수 있습니다.

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [X^{2}] - (E [X])^{2} \\ E [X^{2}] & = & (E [X])^{2} + V a r (X) \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& E[X^2] - (E[X])^2\\ E[X^2] &=& (E[X])^2 + Var(X) \end{eqnarray}$

그런 다음 다음과 같이 해석하십시오. 랜덤 변수의 예상 제곱은 평균의 제곱에 평균의 예상 제곱 편차를 더한 것과 같습니다.

— 도주
소스

오. 허. 단순한. 그러나 정사각형은 여전히 해석되지 않은 것 같습니다. 나는 사각형이없는 것이 의미가 있음을 의미합니다 (정렬하게 느슨하게).

— Mitch

3

나는 이것에 팔리지 않았다.

— Michael R. Chernick

1

피타고라스 정리가 적용되는 경우, 어떤 변을 갖는 삼각형은 무엇이며 두 다리는 어떻게 수직입니까?

— Mitch

1

정교하고 적절한 답변을 제공 할 수있는 기술이 없어서 미안하지만 그 대답은 물리적 고전 역학 개념 순간, 특히 0 중심의 "원시"순간과 평균 중심 중심 순간 사이의 변환에 있다고 생각합니다. 분산은 랜덤 변수의 2 차 중심 모멘트임을 명심하십시오.

— S. 디아 소
소스

1

일반적인 직관은 두 모멘트가 수직이고 세 번째는 빗변이라는 것을 보여줌으로써 피타고라스 정리 (PT)를 적절히 정의 된 벡터 공간에서 사용하여 이러한 모멘트를 연관시킬 수 있다는 것입니다. 필요한 대수학은 두 다리가 실제로 직교 함을 보여주는 것입니다.

다음을 위해 전체 분포의 모멘트가 아니라 계산 목적의 표본 평균 및 분산을 의미한다고 가정합니다. 그건:

\begin{array}{rcll} E [X] & = & \frac{1}{n} \sum x_{i}, & m e a n, f i r s t c e n t r a l s a m p l e m o m e n t \\ E [X^{2}] & = & \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2}, & s e c o n d s a m p l e m o m e n t (n o n - c e n t r a l) \\ V a r (X) & = & \frac{1}{n} \sum (x_{i} - E [X])^{2}, & v a r i a n c e, s e c o n d c e n t r a l s a m p l e m o m e n t \end{array}

$\begin{array}{rcll} E[X] &=& \frac{1}{n}\sum x_i,& \rm{mean, first\ central\ sample\ moment}\\ E[X^2] &=& \frac{1}{n}\sum x^2_i,& \rm{second\ sample\ moment\ (non-central)}\\ Var(X) &=& \frac{1}{n}\sum (x_i - E[X])^2,& \rm{variance, second\ central\ sample\ moment} \end{array}$

(모든 합계가 개가 넘는 항목). $n$

참고로, 기본 증명서의 인 추진 단지 기호 : $Var(X) = E[X^2] - E[X]^2$

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & \frac{1}{n} \sum (x_{i} - E [X])^{2} \\ = & \frac{1}{n} \sum (x_{i}^{2} - 2 E [X] x_{i} + E [X]^{2}) \\ = & \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \frac{2}{n} E [X] \sum x_{i} + \frac{1}{n} \sum E [X]^{2} \\ = & E [X^{2}] - 2 E [X]^{2} + \frac{1}{n} n E [X]^{2} \\ = & E [X^{2}] - E [X]^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& \frac{1}{n}\sum (x_i - E[X])^2\\ &=& \frac{1}{n}\sum (x^2_i - 2 E[X]x_i + E[X]^2)\\ &=& \frac{1}{n}\sum x^2_i - \frac{2}{n} E[X] \sum x_i + \frac{1}{n}\sum E[X]^2\\ &=& E[X^2] - 2 E[X]^2 + \frac{1}{n} n E[X]^2\\ &=& E[X^2] - E[X]^2\\ \end{eqnarray}$

여기에는 의미가 거의 없으며 대수의 기본 조작 만 있습니다. 가 요약 내에서 상수 임을 알 수 있지만 그 정도입니다. $E[X]$

이제 벡터 공간 / 형상 해석 / 직관에서 PT에 해당하는 약간 재정렬 된 방정식입니다.

\begin{array}{rcl} V a r (X) + E [X]^{2} & = & E [X^{2}] \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) + E[X]^2 &=& E[X^2] \end{eqnarray}$

따라서 항목 의 샘플 인 를 의 벡터로 고려 하십시오 . 그리고 두 개의 벡터 과 만들어 봅시다 . $X$ $n$ $\mathbb{R}^n$ $E[X]{\bf 1}$ $X-E[X]{\bf 1}$

벡터 은 모든 좌표의 샘플 평균을 갖습니다. $E[X]{\bf 1}$

벡터 인 . $X-E[X]{\bf 1}$ $\langle x_1-E[X], \dots, x_n-E[X]\rangle$

두 벡터의 내적은 0으로 밝혀지기 때문에이 두 벡터는 수직입니다 :

\begin{array}{rcl} E [X] 1 \cdot (X - E [X] 1) & = & \sum E [X] (x_{i} - E [X]) \\ = & \sum (E [X] x_{i} - E [X]^{2}) \\ = & E [X] \sum x_{i} - \sum E [X]^{2} \\ = & n E [X] E [X] - n E [X]^{2} \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} E[X]{\bf 1}\cdot(X-E[X]{\bf 1}) &=& \sum E[X](x_i-E[X])\\ &=& \sum (E[X]x_i-E[X]^2)\\ &=& E[X]\sum x_i - \sum E[X]^2\\ &=& n E[X]E[X] - n E[X]^2\\ &=& 0\\ \end{eqnarray}$

따라서 두 벡터는 직각이므로 직각 삼각형의 두 다리입니다.

그런 다음 PT ( 을 보유 )에 의해 두 다리 길이의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같습니다. $\mathbb{R}^n$

상단의 지루한 대수 증명에 사용 된 동일한 대수에 의해 가 빗변 벡터의 제곱 임을 알 수 있습니다 . $E[X^2]$

여기서 제곱은 내적입니다 (실제로 이고 는 입니다 . $(X-E[X])^2 + E[X]^2 = ... = E[X^2]$ $E[x]{\bf 1}$ $(X-E[X])^2$ $Var(X)$

이 해석에 대한 흥미로운 부분은 샘플에서의 변환이다 의 벡터 공간에 단 변량 분포에서 항목 차원. 이 유사하다 정말 두 샘플로 해석되는 이변 샘플 변수. $n$ $n$ $n$ $n$

어떤 의미에서, 벡터와 의 직각 삼각형 은 hypotnenuse로 나타납니다. 이 값에 대한 해석 (벡터)을 제공하고 해당 값이 일치 함을 보여줍니다. 그것은 충분히 시원하지만 통계적으로나 기하학적으로 비현실적입니다. 그것은 실제로 왜 우리가 처음에 이미 가지고 있었던 순수한 대수적 증거를 재현하기 위해 많은 추가적인 개념적 기계가 될 것이며 왜 그렇게 말하지 않을 것입니다. $E[X^2]$

또 다른 흥미로운 부분은 평균과 분산이 직관적으로 중심을 측정하고 한 차원으로 확산되지만 차원 에서 직교한다는 것 입니다. 그것들이 직교한다는 것은 무엇을 의미합니까? 몰라요! 직교하는 다른 순간이 있습니까? 이 직교성을 포함하는 더 큰 관계 시스템이 있습니까? 중앙 모멘트 대 비 중심 모멘트? 몰라요! $n$

— 미치
소스

또한 표면적으로 유사한 바이어스 편차 트레이드 오프 방정식의 해석 / 직관에 관심이 있습니다. 거기에 힌트가 있습니까?

— Mitch

p_{i}

$p_i$

i

$i$

p_{i} = \frac{1}{n}

$p_i = \frac{1}{n}$

\sum_{i} p_{i} X_{i} Y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i} X_{i} Y_{i}

$\sum_i p_i X_i Y_i = \frac{1}{n} \sum_i X_i Y_i$

E [X Y]

$E[XY]$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

\forall_{i} p_{i} = \frac{1}{n}

$\forall_i p_i = \frac{1}{n}$

E [X Y] = \sum_{i} p_{i} X_{i} Y_{i}

$E[XY] = \sum_i p_i X_i Y_i$

n

$n$

E [X Y]

$E[XY]$

P

$P$

\forall_{i} p_{i} = \frac{1}{n}

$\forall_i p_i = \frac{1}{n}$

\hat{x}

$\hat{x}$

\hat{y}

$\hat{y}$

{\hat{x}}_{i} = x_{i} \sqrt{p_{i}}

$\hat{x}_i = x_i \sqrt{p_i}$

{\hat{y}}_{i} = x_{i} \sqrt{p_{i}}

$\hat{y}_i = x_i \sqrt{p_i}$

\hat{x} \cdot \hat{y} = \sum_{i} x_{i} \sqrt{p_{i}} y_{i} \sqrt{p_{i}} = \sum_{i} p_{i} x_{i} y_{i} = E [x y]

$\hat{x} \cdot \hat{y} = \sum_i x_i \sqrt{p_i} y_i \sqrt{p_i} = \sum_i p_i x_i y_i = E[xy]$

\hat{x}

$\hat{x}$

\hat{y}

$\hat{y}$

E [x y]

$E[xy]$