Hamilton의 ARMA (p, q) 상태 공간 표현

필자는 Hamilton 13 장을 읽었으며 ARMA (p, q)에 대해 다음과 같은 상태 공간 표현을 가지고 있습니다. 하자 그 때는 ARMA (P, Q) 과정으로서 다음과 {정렬} y_t 시작 \ - \ 뮤 및 = \ phi_1 (Y_ {t-1} - \ MU) + \ phi_2 (y_ {t-2}-\ mu) + ... + \ phi_3 (y_ {t-3}-\ mu) \\ & + \ epsilon_t + \ theta_1 \ epsilon_ {t-1} +. .. + \ theta_ {r-1} \ epsilon_ {t-r + 1}. \ end {aligned} 그리고 나서 다음과 같이 상태 방정식을 정의합니다.$r = \max(p,q+1)$

$$\begin{aligned} y_t -\mu &= \phi_1(y_{t-1} -\mu) + \phi_2(y_{t-2} -\mu) + ... + \phi_3(y_{t-3} -\mu) \\ &+ \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} + ... + \theta_{r-1}\epsilon_{t-r+1}. \end{aligned}$$

$$\xi_{t+1} = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \dots & \phi_{r-1} & \phi_r \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots &1 &0 \end{bmatrix} \xi_t + \begin{bmatrix} \epsilon_{t+1} \\ 0\\\vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

관찰 방정식은 다음과 같습니다.

$$y_t = \mu + \begin{bmatrix} 1 & \theta_1 & \theta_2 & \dots & \theta_{r-1} \\ \end{bmatrix} \xi_t.$$

이 경우 $\xi_t$ 가 무엇인지 이해하지 못합니다 . 그의 AR (p) 표현에서 $\begin{bmatrix} y_{t} - \mu \\ y_{t-1} - \mu\\\vdots \\ y_{t-p+1} - \mu \end{bmatrix}$ 및 그의 MA (1) 표현에서는 $\begin{bmatrix} \epsilon_{t} \\ \epsilon_{t-1} \end{bmatrix}$ 입니다.

누군가 나에게 이것을 조금 더 잘 설명 할 수 있습니까?

해밀턴은 이것이 책에서 올바른 표현이라고 보여 주지만, 그 접근 방식은 약간 반 직관적 인 것처럼 보일 수 있습니다. 그러므로 먼저 그의 모델링 선택에 동기를 부여하는 높은 수준의 답변을 제공 한 다음 그의 파생에 대해 조금 자세히 설명하겠습니다.

동기 부여 :

13 장을 읽어 보면 알 수 있듯이 상태 공간 형태로 동적 모델을 작성하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그러므로 왜 해밀턴이이 특별한 표현을 선택했는지 물어야합니다. 그 이유는이 표현이 상태 벡터의 차원을 낮게 유지하기 때문입니다. 직관적으로, ARMA ( , ) 의 상태 벡터 는 차원 이상이어야한다고 생각합니다 . 결국, 을 관찰하는 것만 으로 값을 유추 할 수 없습니다 . 그러나 그는 차원의 상태 벡터를 남겨 두는 영리한 방식으로 상태 공간 표현을 정의 할 수 있음을 보여줍니다.$p$$q$$p+q$$y_{t-1}$$\epsilon_{t-1}$$r = \max\{p, q + 1 \}$. 계산 차원에서 상태 차원을 낮게 유지하는 것이 중요 할 수 있습니다. 그의 상태 공간 표현은 ARMA 프로세스에 대한 훌륭한 해석을 제공합니다. 관찰되지 않은 상태는 AR ( )이며 MA ( ) 부분은 측정 오류로 인해 발생합니다.$p$$q$

도출 :

이제 파생을 위해 먼저 지연 연산자 표기법을 사용하여 ARMA (p, q)는 다음과 같이 정의됩니다. 우리하자 에 대한 및 에 대한 우리 생략 이후 최소한 인 . 따라서 우리가 보여 주어야 할 것은 그의 상태와 관측 방정식이 위의 방정식을 의미한다는 것입니다. 상태 벡터를 으로 설정하십시오. 상태 방정식. 방정식 에서 까지 확인할 수 있습니다.

$$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) =(1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_t$$ $\phi_j = 0$$j>p$$\theta_j = 0$$j>q$$\theta_r$$r$$q+1$ $$\mathbf{\xi}_t = \{\xi_{1,t}, \xi_{2,t},\ldots,\xi_{r,t}\}^\top$$ $2$$r$단순히 항목 이동 에 하나의 기간 및 앞서 폐기 에서의 상태 벡터 . 따라서 정의하는 첫 번째 방정식 이 관련이 있습니다. 작성 : 의 두 번째 요소 때문에 의 첫 번째 요소이다 상기의 세 번째 요소 이고 의 첫 번째 요소$\xi_{i,t}$$\xi_{i-1,t+1}$$\xi_{r,t}$$t+1$$\xi_{i,t+1}$ $$\xi_{1,t+1} = \phi_1 \xi_{1,t} + \phi_2 \xi_{2,t} + \ldots + \phi_r \xi_{r,t} + \epsilon_{t+1}$$ $\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-1}}$$\mathbf{\xi_{t}}$$\mathbf{\xi_{t-2}}$그래서, 우리는 지연 연산자 표기법을 사용하고 지연 다항식을 왼쪽으로 이동시킵니다 (수식 13.1.24) : 따라서 숨겨진 상태는 자동 회귀 과정을 따릅니다. 마찬가지로 관측 방정식은 또는 지금까지 ARMA처럼 보이지는 않지만 지금은 좋은 부품 : 승산하여 최종 식 : $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t+1} = \epsilon_{t+1}$$ $$y_t = \mu + \xi_{1,t} + \theta_1\xi_{2,t} + \ldots + \theta_{r-1}\xi_{r-1,t}$$ $$y_t - \mu = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\xi_{1,t}$$ $(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)y_t$$ 그러나 상태 방정식 (한 기간 )에서 ! 따라서 위의 이것은 우리가 보여 주어야 할 바로 그 것입니다! 따라서 상태 관찰 시스템은 ARMA (p, q)를 올바르게 나타냅니다. 나는 정말로 해밀턴을 역설하고 있었지만 어쨌든 이것이 유용하기를 바랍니다.$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)\xi_{1,t} = \epsilon_{t}$ $$(1-\phi_1L - \ldots - \phi_rL^r)(y_t - \mu) = (1 + \theta_1L + \ldots + \theta_{r-1}L^{r-1})\epsilon_{t}$$

위와 동일하지만 더 짧고 간결한 답변을 제공 할 것이라고 생각했습니다. 다시 말하지만, 이것은 인과적인 ARMA ( , ) 프로세스에 대한 Hamilton의 표현입니다 . 이 숫자는 상태 벡터 이되며 행의 수를 만들어야합니다. 상태는 관측 행렬의 열 수와 일치합니다. 즉, 지수가 너무 클 때마다 계수를 0으로 설정해야합니다.$p$$q$$r=\max(p,q+1)$$r$$(\xi_t, \xi_{t-1},\ldots, \xi_{t-r+1})'$

1. 관측 방정식

$$\begin{align*} &\phi(B)(y_t - \mu) = \theta(B)\epsilon_t \\ \iff &(y_t - \mu) = \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \tag{causality}\\ \iff &y_t = \mu + \phi^{-1}(B)\theta(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &y_t = \mu + \theta(B)\xi_t \tag{letting $\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t$}\\ \iff &y_t = \mu + \left[\begin{array}{ccccc}1 & \theta_1 & \theta_2 & \ldots & \theta_{r-1} \end{array}\right] \underbrace{\left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right]}_{\text{the state vector}} + 0\tag{this is where we need $r$}. \end{align*}$$

2. 상태 방정식

$$\begin{align*} &\xi_t = \phi^{-1}(B)\epsilon_t \\ \iff &\phi(B)\xi_t = \epsilon_t \\ \iff &(1 - \phi_1 B - \cdots - \phi_rB^r) \xi_t = \epsilon_t \\ \iff &\xi_t = \phi_1 \xi_{t-1} + \cdots + \phi_r \xi_{t-r} + \epsilon_t \\ \iff & \left[\begin{array}{c} \xi_t \\ \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r+1} \end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ccccc} \phi_1 & \phi_2 & \phi_3 & \cdots & \phi_r \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &\cdots & 1 & 0 \end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} \xi_{t-1} \\ \xi_{t-2} \\ \vdots \\ \xi_{t-r} \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{c} \epsilon_t \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right]. \end{align*}$$