왜 기대 값이 그렇게됩니까?

공정한 6 면체 주사위를 굴릴 때 예상되는 값으로 3.5를 얻는 방법을 이해합니다. 그러나 직관적으로 1/6의 기회로 각 얼굴을 기대할 수 있습니다.

따라서 주사위를 굴릴 것으로 예상되는 값이 같은 확률로 1-6 사이의 숫자가 아니어야합니까?

다시 말해, '공정한 6 면체 주사위를 던질 때의 예상 가치는 얼마입니까?'라는 질문을 받았을 때, '아, 1-6의 기회는 같을 것입니다.'라고 대답해야합니다. 대신 3.5입니다.
직관적으로 현실 세계에서 누군가가 주사위를 던질 때 기대해야 할 가치가 3.5 인 방법을 설명 할 수 있습니까?
다시 말하지만 나는 기대에 대한 공식이나 도출을 원하지 않습니다.

당신이 1654 년에 파리에 있고 당신과 당신의 친구가 6면 주사위의 연속적인 롤링을 기반으로 도박 게임을보고 있다고 상상해보십시오. 이제 도박은 매우 불법적이며, 젠 다르 메에 의한 흉상은 매우 빈번하며, 잔뜩 쌓인 테이블에서 잡히는 것은 Chateau d' If의 긴 악취를 거의 확실하게 보장하는 것입니다.

이 문제를 해결하기 위해 당신과 당신의 친구는 마지막 주사위를 굴리기 전에 두 사람 사이에 베팅에 대한 신사 계약을 가지고 있습니다. 그는 당신이 다음 5 개의 주사위 굴림에서 2 개의 6 개를 관찰하면 5 개의 livre를 지불 할 것에 동의하고, 2 개의 롤이 굴러도 같은 양을 지불 할 것을 동의합니다.

이제 마지막 다이 롤은 6 개이므로 시트 가장자리에 비 유적으로 나타납니다. 이 시점에서, 무장 한 경비병들이 굴에 터져 테이블에있는 모든 사람들을 체포하고 군중이 산산조각났습니다.

친구는 두 사람 사이의 베팅이 무효화되었다고 생각합니다. 그러나, 당신은 이미 6 분의 1이 굴 렸을 때 그가 당신에게 얼마를 지불해야한다고 믿습니다. 두 사람 사이에이 분쟁을 해결하는 공정한 방법은 무엇입니까?

(제시 이것은 예상 값의 기원에 대한 나의 해석은 여기 와 더 자세히 논의 여기 )

이 공정한 가치에 대한이 질문에 엄격하지 않은 방법으로 답변합시다. 친구가 지불해야하는 금액은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 네 주사위의 가능한 모든 롤을 고려하십시오. 일부 롤 세트 (즉 6 개 이상을 포함하는 롤)는 친구가 동의 한 금액을 지불하게합니다. 그러나 다른 세트 (즉, 단일 6을 포함하지 않는 세트)에서는 돈을받지 못합니다. 이 두 가지 유형의 롤이 발생할 가능성을 어떻게 균형 조정합니까? 가능한 모든 롤에 대해 지불 한 금액을 단순하고 평균적으로 계산하십시오.

그러나, 당신의 친구 (아마도)는 여전히 그의 내기를 이길 수 있습니다! 남은 4 개의 주사위에 2 개의 주사위가 굴리는 횟수를 고려해야하고, 가능한 한 4 개의 주사위 롤 수에 대해 지불 할 금액을 평균해야합니다. 이것은 당신이 그의 베팅에 대해 친구에게 지불해야하는 공정한 금액입니다. 따라서 당신이 얻는 금액은 친구가 당신에게 지불해야 할 금액을 빼고 친구에게 지불 해야하는 금액입니다.

이것이 우리가 이것을 "예상 가치"라고 부르는 이유입니다. 여러 동시 유니버스에서 발생하는 이벤트를 시뮬레이트 할 수있는 경우 예상되는 평균 양입니다.

훌륭한 질문입니다. 처음보다 더 미묘합니다. 그것은 함께 할 수있다 무작위 이벤트 및 확률 변수 (숫자 값). 당신의 혼란은이 두 가지 관련이 있지만 별개의 개념을 혼합하여옵니다.

이벤트부터 시작하겠습니다. 당신이 당신의 질문을 공식화 한 방식으로, 당신은 주사위 던지기의 결과가 이벤트를 던지는 것을 고려하는 것처럼 보입니다. 그것은 무작위이므로, 당신이 쓴 것처럼 당신은 그것의 6면 중 하나를 같은 기회로 얻을 수 있습니다. 완벽한 의미가 있습니다.

이 실험의 예상 가치는 무엇입니까? 예상치는 이벤트가 아닌 임의의 변수 (값)에 대해 정의됩니다. 주사위의 숫자 1-6은 단순히 (질문의 맥락에서) 측면을 구별하는 방법입니다. 대신 A, B, C, D, E 및 F 문자를 사용했다고 상상해보십시오. 숫자를 문자로 바꾸고 다음과 같이 질문을 반복하십시오.

다시 말해, '공정한 6 면체 주사위를 던질 때의 예상 가치는 얼마입니까?'

이제 예상 값을 생각해보십시오. 정의되지 않았습니다!

1에서 6과 같은 임의의 값을 정의하면 기대 값이 표시됩니다. 예를 들어 값을 이벤트 공간에 맵핑합니다. 예를 들어, A면은 1, B면은 2 등으로 정의합니다. 이제 6 개의 숫자가 있고 3.5가되는 기대치를 계산하십시오.

"각각의 값이 같을 가능성"또는 "일부 값이 가장 가능성이 높음"은 예상 값이 아닌 모드의 정의입니다.

우리가 동전 던지기 게임을하고 있다고 상상해보십시오. 나는 머리를 던져 때마다, 나는 당신에게 1 개 $을 나는 꼬리를 던져 때마다, 당신은 나에게 1 개, $를 . 장기적으로 얼마나 많은 돈 을 얻거나 잃을 것으로 예상 하십니까? 금액이 같고 던질 확률이 같으며 예상 값이 0입니다.

모든 주사위 롤을 평균하는 경우가 있기 때문에 기대 값이 너무라고 예상 이 얻을 기대 값 에서 장기를 . 예상 값은 단일 주사위 롤과 관련이 없습니다.

역사적 관점에서 볼 때이 개념은 다른 나라에서 나타나는 것처럼 보였으므로이 단어를 여러 언어에서 비슷한 개념 사이 의 편리한 수렴 으로 사용하는 것을 고려할 것 입니다.

저의 출발점 은 확률과 통계에서 기호를 가장 빨리 사용하는 것입니다 .

기대. WA Whitworth의 유명한 교과서 인 Choice and Chance (제 5 판)에서는 1901 년에 큰 대본 E가 사용되었지만 영어 문헌에서는 기대의 상징이나 미적분학이 확립되지 않았습니다. 예를 들어, Rietz Mathematical Statistics (1927)는 기호 E를 사용하고 "변수의 예상 값은 다양한 유럽 유럽 작가들이 많이 사용하는 개념입니다 ..."유럽 대륙 작가 E의 경우 "Erwartung"을 나타냅니다. 또는 " espérance (편집자 주 : mathématique) ."

이 용어는 때때로 Huygens 확률 기반 에서 논의되는 Huyghens에 "속성"입니다 .

Huygens는 기대 확률을 기반으로한다는 것이 일반적으로 인정됩니다. 그러나 "예상"이라는 용어는 Van-Schooten의 Huygens 논문의 라틴 번역에서 비롯된 것입니다. Huygens의 네덜란드어 텍스트를 문자 그대로 번역하면 Huygens가 실제로 무엇을 의미했으며 어떻게 진행했는지 더 명확하게 알 수 있습니다.

Fermat, Pascal과 관련한 추가 세부 사항은 Expectation 및 초기 영아 에서 찾을 수 있습니다 .

흥미롭게도 예상 값 보다 더 일반적인 개념 은 location 입니다. 따라서 기대 가치의 개념은 다소 혼란스러운 미묘한 의미를 가지고 있습니다.

예상되는 주사위 결과와 관련하여 3.5가 무엇을 의미하는지에 대해 의문을 갖는 것이 합리적입니다. 답 압연 주사위의 평균값이 결과 기대치 개념 만, 질문에 특정 평균 또는 평균 값을 의미하고, 제한된 기능 클래스에만 기대 즉, 3.5이지만 여기 주사위를 포함하지 않는다는 것이다 결과. 다시 말하면 평균 롤 결과는 3.5이지만 무엇입니까? 사실, 평균값이 의미는 있지만 상황이 상황 (일부 대체 우주에서)을 발명 할 수 있습니다.$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ 이 우주에서 실제로 결과를 얻는 이점으로 $ 1를 잃고 평균과 마찬가지로 작동합니다.

"예상 가치"와 "평균 가치"라는 용어 사이에 지나치게 제한적으로 연관되는 이유는 의미 상 올바르거나 심지어 가장 강렬한 것이 아니라 역사적으로 보인다. 즉, 계산 된 기대 값이 일치하는 상황에서 데이터 세트에서의 위치 특성화 행동의 기대는 다른 데이터 분포가 아닌 특정 데이터 분포로 제한됩니다.

$f$ 적용은 따라서 체비 쇼프 1887에 적용 할 수있다. 이는보다 일반적인 위치 측정과 대조적으로 기대 값을 평균값과 연관시키기위한 괄호식이 된 중심 한계 정리의 강점이다.

그러나 다른 측정 값이 더 안정적이거나 데이터를 더 대표하는 비정규 데이터 분포는 어떻습니까? 예를 들어, 균일 분포에서 나온 데이터의 중간 범위 값 또는 평균 극단 값은 더 정확하고 안정적입니다. 즉, 해당 분포의 평균 또는 중간 값보다 정확하고 수렴합니다. 대수 정규 분포, 예를 들어 소득 데이터의 (대부분의 처리), 데이터 대수 평균의 대수 (AKA 기하 평균)$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$