정규 분포를 가정하여 표준 편차를 사용합니까?

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표준 편차가 항상 정규 분포를 가정하여 구축되었는지 궁금합니다. 즉, 표본이 정규 분포를 따르지 않으면 표준 편차를 사용하는 것이 실수로 간주되어야합니까?

normal-distribution standard-deviation

— 더갈
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균일 분포의 표준 편차가 있는데 어떻게 이것이 "실수"일 수 있습니까?

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표준 편차의 사용은 정규성을 가정하지 않습니다.

랜덤 변수의 분산은 다음과 같이 정의됩니다 $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$ . 분산이 존재하는 한 표준 편차도 존재합니다. 표준 편차는 분산의 제곱근입니다.

분산을 사용할 수 있습니다 $\operatorname{Var}(X)$ 또는 둘이 존재할 때마다 표준 편차. 수많은 상황에서 차이가 발생합니다.

특별한 이론, 렘마 등이 있지만 특별한 경우에는 $X$ 정규 분포를 따릅니다.

정규성에 의존하는 표준 편차의 일반적인 사용 :

만약 $X$ 정규 분포를 따른다면 약 95 %의 확률로 $X$ 평균의 두 표준 편차 내에 속합니다.

그 진술은 사실이라면 $X$ 정규 분포 (및 다른 여러 배포)를 따르지만 일반적으로 사실은 아닙니다.

정규성에 의존 하지 않는 분산의 일반적인 사용 :

허락하다 $X$ 평균을 갖는 랜덤 변수이다 $\operatorname{E}[X] = \mu$ 그리고 분산 $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$ . 밝히다 $X_i$ ...에 대한 $i=1, \ldots, n$ 독립적 인 랜덤 변수로서, 각각 동일한 분포를 따르는 $X$ .

다음을 기준으로 표본 평균을 정의하십시오. $n$ 다음과 같은 관찰 :

{\bar{엑스}}_{엔} = \frac{1}{엔} \sum_{나는 = 1}^{엔} {엑스}_{나는}

$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

중앙 한계 정리에 의해 $\bar{X}_n$ 평균을 갖는 정규 분포 랜덤 변수로 수렴 $\mu$ 그리고 분산 $\frac{\sigma^2}{n}$ . (더 정확하게 $\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$ 배포에 수렴 $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ 같이 $n \rightarrow \infty$ .)

실제 의미는 표본 평균이 $\bar{X}_n$ 큰 $n$ 분산이 정규 분포 된 랜덤 변수로 취급 될 수 있습니다. $\frac{\sigma^2}{n}$ 분산의 함수입니다 $X$ . (회상 $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$ .) 그리고이 결과는 그것을 요구하지 않습니다 $X$ 정상입니다. (더 낮을 필요가 있습니다 $n$ 만약에 잘 작동 $X$ 어떤 의미에서 정규 분포에 더 가깝습니다.)

중앙 한계 정리는 다음의 분산을 사용하는 유비쿼터스 도구입니다. $X$ 그리고 필요하지 않습니다 $X$ 정규 분포를 따릅니다.

— 매튜 건
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체비 쇼프의 불평등은 분산에만 국한된 것이 아닙니다.

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$1$ . 그러므로 나는 SD가 중요하고 (거의) 보편적 인 이유, 예를 들어 중앙 한계 정리의 분산에 의해 수행 되는 독특한 역할을 다른 곳에서 찾아 볼 것을 제안 합니다.

— whuber

@ whuber 네, CLT 예제를 작성하기 시작했습니다 (이제 추가했습니다). CLT는 차이를 관리해야하는 매우 실용적인 이유입니다.

— Matthew Gunn

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+1. 그러나 참고 분산은 (함께 평균이) 비정상 배포를위한 일반적인 경우에 대한 자세한 설명이 힘이 더 이상 경우, 그리고 데이터의 다른 d3scriptors 훨씬 더 좋을 수도 제공하는 동안

— 할보 르센 kjetil B

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표준 IID 설정에서 적절한 규칙 성 조건에서 $S^2$ (만큼 잘 $\hat{\sigma}^2_{ML}$ )는 매우 일관된 추정량입니다. $\mathrm{Var}[X_i]$ . 이것은 큰 숫자의 강력한 법칙에서 직접 따릅니다. 일반적인 모델 가정은 필요하지 않습니다.

— 선
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