왜 표준 편차를 만들기 위해 분산의 제곱근을 취합니까?

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왜 표준 편차를 만들기 위해 분산의 제곱근 을 취하는 지 궁금합니다 . 유용한 가치를 창출하는 제곱근을 취하는 것은 무엇입니까?

어떤면에서 이것은 사소한 질문이지만 다른면에서는 실제로 매우 깊습니다!

• 다른 사람들이 언급했듯이, 제곱근을 취한다는 것은 의 단위가 와 같다는 것을 의미 합니다.$\operatorname{Stdev}(X)$$X$

• 제곱근을 취하면 절대적 균질성, 즉 절대적 확장 성이 제공 됩니다. 스칼라 및 임의 변수 에 대해 다음을 갖습니다. 절대 동질성 은 표준 의 필수 특성 입니다 . 표준 편차는 가 3 차원의 표준 유클리드 표준 인 것과 유사한 방식으로 표준 (임의의 제로 랜덤 변수의 벡터 공간에서)으로 해석 될 수 있습니다. 공간. 표준 편차는 랜덤 변수와 그 평균 사이의 거리를 측정 한 것입니다.$\alpha$$X$

  $$\operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ √$\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$

표준 편차 및 규범$L_2$

유한 치수 케이스 :

에서는 차원 벡터 공간은 일명 표준 유클리드 놈 표준이 정의되어있다 :$n$$L_2$

보다 광범위하게, -norm 는 루트를 사용하여 절대 값을 얻습니다. 동질성 : .$p$ $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$$p$$\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p$

가중치가 경우 가중치 합 도 유효한 표준입니다. 또한 가 확률을 나타내고 경우 표준 편차입니다.$q_i$$\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$$q_i$$\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

무한 치수 케이스 :

무한 차원의 힐버트 공간에서 마찬가지로 규범을 정의 할 수 있습니다 .$L_2$

경우 평균 제로 확률 변수이고 확률 측정, 표준 편차는 무엇인가? 그것은 동일합니다 : .$X$$P$$\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$

개요:

제곱근을 취한다는 것은 표준 편차가 표준 의 필수 특성 인 절대 균질성을 만족시키는 것을 의미합니다 .

확률 변수의 공간, 이다 내적 및 내부 제품에 의해 유도되는 표준 . 따라서 표준 편차는 의미없는 랜덤 변수의 표준입니다. 평균 에 .$\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$$\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$

(기술적 요점 : 는 표준이지만 표준 편차 A에 대한 요구 사항이 있기 때문에 일반적으로 확률 변수를 통해 표준이 아닌 NORMED 벡터 공간 입니다 경우에만, . 0 아무튼의 표준 편차 ' t는 랜덤 변수가 0 요소임을 암시합니다.)$\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$$\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$$\|x\| = \mathbf{0}$$x = \mathbf{0}$

차이의 로 정의되는 , X는과 예상 값 사이의 제곱 차의 기대하므로.$X$$V(X) = E(X-E(X))^2$

경우 시간 (초)이며, 초이지만, 인 와 초 후에 다시이다.$X$$X-E(X)$$V(X)$$\mbox{seconds}^2$$\sqrt{V(X)}$

간단한 대답은 단위가 평균과 동일한 척도에 있다는 것입니다. 예 : 중고등 학생의 평균은 표준 편차 (SD)가 20cm 인 160cm 인 것으로 추정됩니다. 400cm ^ 2의 편차보다 SD의 변화를 직관적 으로 얻는 것이 직관적으로 쉽습니다.

더 간단한 용어로 표준 편차는 평균에 대한 데이터의 확산에 대해 무언가를 나타내는 양수를 제공하도록 설계되었습니다.

평균에서 모든 점의 거리를 합산하면 양의 방향과 음의 방향의 점이 평균으로 다시 돌아가는 경향이있는 방식으로 결합하여 스프레드에 대한 정보를 잃게됩니다. 이것이 우리가 분산을 먼저 측정하여 모든 거리가 제곱을 통해 양수로 유지되고 서로 상쇄되지 않도록하는 이유입니다. 결국 우리는 우리가 시작한 단위를 나타내는 양의 값을 원합니다-이것은 이미 위에서 언급되었습니다-그래서 우리는 양의 제곱근을 취합니다.

지적 게으름으로 인해 계속되는 것은 역사적인 어리 석음입니다. 빼기 부호를 제거하기 위해 평균과의 차이를 제곱하기로했습니다. 그런 다음 제곱근을 취해 평균과 비슷한 규모로 만듭니다.

누군가는 평균으로부터 편차 또는 절대 편차 값을 사용하여 새로운 통계, 컴퓨팅 분산 및 SD를 생성해야합니다. 이것은이 모든 제곱을 없애고 제곱근 사업을 취하게 될 것입니다.