경우 고정되어있다 반드시 고정?

라면 는 정지 iff 라는 ARCH 모델의 속성 중 하나에 대한 증거를 여기서 ARCH 모델은 다음과 같습니다.{ X t } ∑ p i = 1 b i < $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$$\{X_t\}$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

증명의 주요 아이디어는 가 AR (p) 프로세스로 작성 될 수 있고 이 true 인 경우 특성 다항식의 모든 근이 단위 외부에 있음을 입니다. 원이므로 는 고정되어 있습니다. 그런 다음 는 고정되어 있습니다. 이것은 어떻게됩니까? ∑ p i = 1 b i < 1 { X 2 t } { X t$X_t^2$$\sum_{i=1}^pb_i < 1$$\{X_t^2\}$$\{X_t\}$

섹션 주어진에서 나는 당신의 정상 성을 볼 수 있습니다 방법을 이해 의 정상 성을 의미한다 하지만, 실제로는 일정한 분산을 의미한다 . X t X t$X^2_t$$X_t$ $X_t$

이 증거의 저자는 을 사용하여 무조건적인 순간을 이전에 시작한 논쟁을 완료했습니다. X $X^2_t$$X_t$

리콜 차 정상 성 조건 :$2^{nd}$

1. ∀ t ∈ $E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
2. ∀ t ∈ $Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
3. ∀ h ∈ $Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

조건 1은 으로 증명되었습니다.$E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

조건 3은$E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

그러나 두 번째 조건을 증명하기 위해 의 일정한 무조건 분산을 증명해야했습니다.$X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

이것이 형식을 사용한다고 언급 한 의 정상 성을 가정 한 것입니다. 간단히 말해 : X ^ 2_t이 정지 한 후, 다항식의 뿌리가 단위 원 안팎 놓여한다면 이 가능하게 작성하려면 : $X^2_{t}$$AR(p)$

$$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$$ $\Sigma b_i<1$ $$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$$