회귀 계수의 역변환

변환 된 종속 변수로 선형 회귀를 수행하고 있습니다. 잔차의 정규성의 가정이 유지되도록 다음과 같은 변환이 수행되었습니다. 변환되지 않은 종속 변수는 음으로 비뚤어졌으며 다음 변환으로 변수가 정상에 가깝습니다.

여기서 $Y_{orig}$ 는 원래 척도의 종속 변수입니다.

나는 원래의 척도로 돌아 가기 위해 계수 에 약간의 변환을 사용하는 것이 합리적이라고 생각합니다 . 다음 회귀 방정식을 사용하여$\beta$

고정하여 , 우리가$X=0$

그리고 마지막으로,

같은 논리를 사용하여

1 ~ 2 개의 예측 변수가있는 모형의 경우 상황이 매우 잘 작동합니다. 역변환 된 계수는 원래의 계수와 비슷하지만 이제는 표준 오차를 신뢰할 수 있습니다. 다음과 같은 상호 작용 용어를 포함 할 때 문제가 발생합니다.

그런 다음 대한 역변환 은 원래 스케일의 역변환과 너무 가깝지 않으며 왜 그런지 잘 모르겠습니다. 또한 베타 계수를 역변환하기 위해 발견 된 공식이 3 차 β (상호 작용 항에 대해)에서 와 같이 사용 가능한지 확실하지 않습니다 . 미친 대수학에 들어가기 전에 조언을 구할 줄 알았는데 ...$\beta$$\beta$

One problem is that you've written

That is a simple deterministic (i.e. non-random) model. In that case, you could back transform the coefficients on the original scale, since it's just a matter of some simple algebra. But, in usual regression you only have $E(Y|X)=α+β⋅X$ ; you've left the error term out of your model. If transformation from $Y$ back to $Y_{orig}$ is non-linear, you may have a problem since $E\big(f(X)\big)≠f\big(E(X)\big)$, in general. I think that may have to do with the discrepancy you're seeing.

Edit: Note that if the transformation is linear, you can back transform to get estimates of the coefficients on the original scale, since expectation is linear.

I salute your efforts here, but you're barking up the wrong tree. You don't back transform betas. Your model holds in the transformed data world. If you want to make a prediction, for example, you back transform $\hat{y}_i$, but that's it. Of course, you can also get a prediction interval by computing the high and low limit values, and then back transform them as well, but in no case do you back transform the betas.