평균 가치 역설-이것이 무엇입니까?

데이터 세트가 있습니다. 관측치와 변수를 말합니다 .$10$$3$

obs  A   B   C
1    0   0   1
2    0   1   0
3    1   0   1
4    1   1   0
5    1   0   1
6    1   0   0
7    1   1   0
8    0   0   1
9    0   1   1
10   0   1   1

각 범주에서 고객을 구매 ( 또는 구입 ) 했다고 가정합니다 . 있다 이, 그래서이 사람 고객에 구입 평균 제품 카테고리.$10$10A, B, C$16$$10$$1.6$

고객은 A, B 및 C 중 하나 이상을 구입할 수 있습니다.

구매 한 사람 만 보면 제품 카테고리를 구매 한 고객 A이 이므로 평균 입니다.$5$$9$$1.8$

B이다 다시, 또는 1.8 .$9/5$$1.8$

C인 $10/6 = 1.67.$

모두 $1.6.$

이상해 보인다. 이해하지만 다음 주에 마케팅에 설명해야하므로 도움이 필요합니다!

이게 뭐야?

나는 그것이 심슨의 역설이 아니라는 것을 안다. 나에게 그것은 몬티 홀 문제와 조건부 확률과 논리가 비슷하다고 느낍니다.

하위 범주가 더 큰 고객에서 겹치는 경우 모든 하위 범주 의 평균이 전체 평균보다 클 수 있습니다.

직감을 얻는 간단한 예 :

• 하자 개인이 카테고리 A에서 항목을 구입 여부를 지표가 될$A$
• 하자 개인이 B. 카테고리에서 아이템을 구입 여부 지표가 될$B$
• 하자 구입 한 항목의 수를합니다.$X = A + B$

개인의 집합 진정한 중복에게 개인의 집합입니다 B는 사실을. 그들은 분리 된 세트 가 아닙니다 .$A$$B$

그런 다음 이고 E [ X ∣ A ] = 1.5 이고 E [ X ∣ B ] = $\operatorname{E}[X] \approx 1.33$$\operatorname{E}[X \mid A] = 1.5$$\operatorname{E}[X \mid B] = 1.5$

사실은 다음과 같습니다.

할 수 있습니다 단순히 계산 설정하기 때문에 와 B의 중복, 식 더블 카운트 항목을 모두 구입하는 사람 와 B를 !$P(A)\operatorname{E}[X\mid A] + P(B)\operatorname{E}[X\mid B]$$A$$B$$A$$B$

환상 / 역설의 이름?

나는 그것이 소셜 네트워크에서 대다수의 환상 역설 과 관련이 있다고 주장합니다 .

모든 사람을 네트워크 / 친구로 사귀는 친구가있을 수 있습니다. 그 사람은 전체적으로 백만 명 중 하나 일지 모르지만 각 사람의 친구 중 하나가 될 것입니다 .$k$

마찬가지로 여기에 카테고리 A와 B를 모두 구매하는 3 명 중 1 명이 있습니다. 그러나 카테고리 A 또는 B 중 2 명 중 1 명은 슈퍼 구매자입니다.

극단적 인 경우 :

세트의 로또 티켓을 만들어 봅시다 . 모든 세트는 S 내가 잃는 티켓 : 티켓 두 장 포함 전 및 잭팟 우승 티켓을.$n$$S_i$$i$

각 세트의 평균 위닝 후이다 $S_i$ 어디에J는잭팟이다. 각 종류의 평균은WAY티켓 전체 당 평균 상금 위$\frac{J}{2}$$J$ .$\frac{J}{n+1}$

판매 사례와 동일한 개념의 역 동성입니다. 각 세트 모든 장르 A가, B, 또는 C가 무거운 구매자를 포함하는 것과 같은 방식으로 잭팟 티켓을 포함한다.$S_i$

결론은 분리 된 세트를 기반으로 한 직감 이며, 샘플 공간의 전체 파티션은 일련의 겹치는 세트 로 이어지지 않습니다 . 카테고리가 겹치는 경우 모든 카테고리의 평균을 초과 할 수 있습니다.

분리 된 세트에서 샘플 공간과 조건 을 분할 하는 경우 범주는 전체 평균으로 평균화되어야하지만 겹치는 세트에는 해당되지 않습니다.

나는 이것을 가족 규모의 역설 또는 이와 유사한 것으로 부를 것이다.

간단한 예를 들어, 모두에게 하나의 파트너와 매개 변수 가진 Poisson-distributed 많은 수의 자식이 있다고 가정합니다 .$2$

• 1 인당 평균 어린이 수는 2 명입니다.$2$
• 어린이가있는 사람당 평균 어린이 수는 $\frac{2}{1-e^{-2}} \approx 2.313$
• 각 개인의 형제 자매 수를 계산하는 평균 형제 그룹 수는 $3$

실제 인구 통계 및 설문 조사 숫자는 다른 숫자이지만 유사한 패턴을 생성합니다.

명백한 역설은 개인의 형제 그룹의 평균 크기가 가족당 평균 어린이 수보다 크다는 것입니다. 안정적인 인구 역학으로 사람들은 부모보다 평균적으로 자녀 수가 적은 경향이 있습니다.

평균은 부모와 가족 또는 형제 자매 이상을 취하고 있는지에 대한 설명입니다. 대가족에게는 다른 가중치가 적용됩니다. 귀하의 예에서 개인별 또는 구매 별 가중치 사이에는 차이가 있습니다. 특정 구매에 대한 조건에 따라 조건부 평균이 높아집니다.

다른 답변은 무슨 일이 일어나고 있는지 생각하고 있습니다. 하나의 제품과 두 개의 고객이 있다고 가정하십시오. 하나는 제품을 한 번 구입했지만 다른 하나는 구입하지 않았습니다. 구매 한 평균 제품 수는 0.5이지만 제품을 구매 한 고객 만 보면 평균은 1로 증가합니다.

이것은 역설적이거나 반 직관적 인 것처럼 보이지 않습니다. 제품 구매에 대한 컨디셔닝은 일반적으로 구매 한 평균 제품 수를 증가시킵니다.

이것은 단순히 "평균의 평균"혼란 (예 : 이전 스택 교환 질문 )이 아닌가? 하위 표본 평균이 모집단 평균의 평균을 가져야한다는 유혹이 있지만 이는 거의 발생하지 않습니다.

고전적인 "평균의 평균"에서, 누군가는 N 개의 상호 배타적 인 부분 집합의 평균을 찾은 다음,이 값이 평균에 미치지 못한다는 사실에 흠이 있습니다. 이 평균의 평균을 계산하는 유일한 방법은 겹치지 않는 하위 집합의 크기가 동일한 경우입니다. 그렇지 않으면 가중 평균을 취해야합니다.

하위 집합이 중복되어 기존의 평균 평균 혼란보다 문제가 복잡해 지지만 왜곡 된 고전적인 실수 인 것 같습니다. 부분 집합이 겹치면 모집단 평균에 해당하는 하위 표본 평균으로 끝나기가 훨씬 더 어렵습니다.

귀하의 예에서 여러 하위 샘플에 나타나고 많은 것을 구입 한 사용자는 이러한 평균을 증가시킵니다. 기본적으로 각 큰 지출자를 여러 번 계산하는 반면 한 항목 만 구매하는 검소한 사람들은 한 번만 만나므로 더 큰 가치로 편향됩니다. 그렇기 때문에 귀하의 특정 부분 집합이 평균값을 초과하는 이유이지만 이것이 여전히 "평균의 평균"문제라고 생각합니다.

하위 샘플 평균이 다른 값을 갖는 데이터에서 모든 종류의 다른 하위 집합을 구성 할 수도 있습니다. 예를 들어, 당신의 서브셋과 다소 유사한 서브셋을 보자. A를 구입 하지 않은 사람들의 하위 집합을 취하면 평균 7/5 = 1.4 항목을 얻습니다. B를 구입 하지 않은 서브 세트를 사용하면 평균 1.4 개의 항목을 얻을 수 있습니다. C를 구매 하지 않은 사람들 은 평균 1.5 개를 구매했습니다. 이들은 모두 인구 평균 1.6 개 항목 / 고객 아래에 있습니다. 올바른 데이터 세트와 서브 세트의 올바른 콜렉션이 주어지면 평균이 모집단 평균에 해당하는 서브 세트가 겹칠 수 있습니다. 그러나 이것은 일반적인 응용 프로그램에서는 일반적이지 않습니다.

너무 많은 반복 후에 나에게만 해당됩니까, 아니면 단어 평균이 이상하게 보입니까 ... 내 답변이 도움이 되었기를 바랍니다.

문제는 " 이해하지만 마케팅에 설명해야합니다 "이므로 OP는 일반인이 이러한 사실을 해석하는 방법 (사실이 사실인지 또는 사실인지를 나타내는 방법이 아님)과 관련이있는 것 같습니다. 이 질문은 10 가지 제품 범주 (AJ)를 참조하므로이 예는 어떻습니까?

[마케팅 그룹과의 회의에서]
OP : 여기서 볼 수 있듯이 A, B 및 C를 구매하는 고객은 평균보다 가치가 있습니다.
Layman : 잠깐만! 모든 사람이 평균보다 어떻게 더 높을 수 있습니까?
OP : 좋은 질문입니다. 이 슬라이드는 A, B 및 C 고객에게 중점을 두지 만 성능이 낮은 다른 그룹은 표시되지 않습니다. 예를 들어, 카테고리 D 및 G의 고객은 각각 평균의 절반에 해당합니다.

이것은 '모든 것이 평균 이상입니다'에 대해 모든 사람의 내부 bs- 알람을 진압해야합니다.

다른 답변은 여기에서 무시하십시오. 이것은 실제로 역설 이 아닙니다 . 여기서 모든 사람들이 무시하고있는 실제 문제는 당신이 실제로보고 있는 확률을 착각하고 있다는 것 입니다. 실제로 제안 된 예제 (마케팅)에서 자체적으로 사용하고 해석하는 두 가지 완전히 다른 평균과 통계가 있습니다.

우선 고객 당 구매 한 평균 제품 수가 있습니다. 평균적으로 한 고객이 1.6 개 품목을 구매합니다. 물론 고객은 제품의 0.6을 초과 할 수 없습니다 (연속 측정 값이있는 쌀이나 곡물이 아니라고 가정).

둘째, 특정 제품을 구매하는 평균 고객 수가 있습니다. 이상하게 들리나요? 평균적으로 제품은 5.33333333 ... 고객이 구매합니다. 그러나 이것은 다릅니다. 여기서 설명하는 것은 구매 한 제품 수 (3 개뿐)가 아니라 실제로 해당 제품을 구매 한 사람들의 수입니다.

이 두 가지 값을 다음과 같이 생각하십시오.이 두 값은 고객이 하나만 있거나 제품이 하나 뿐인 경우 무엇을 나타 냅니까? 결국, 단일 데이터 포인트의 평균은 주어진 데이터 포인트에 불과합니다.

또는 더 나은 방법은 차트를 사용하여 제품을 구매하는 데 지출 한 금액을 달러로 계산하는 것입니다. 분명히 개별 고객이 소비 한 평균 금액은 대기업 (또는 소규모 사업자)이 공급하는 제품이 평균적으로 산출 한 금액보다 훨씬 적습니다. 회사의 안녕을 논의 할 때 두 가지 가치를 모두 사용하는 좋은 방법을 생각할 수 있습니다.

이것을 마케팅 담당자에게 설명 할 때 내가 말한 것처럼 설명하십시오. 역설이 아닙니다. 완전히 다른 통계 일뿐입니다. 여기서 유일한 문제는 실제로 차트를 읽는 두 가지 방법 (즉, 제품 당 구매하는 사람 수와 사람당 구매 한 제품 수)을 읽는 두 가지 방법이 있다는 사실을 알았습니다.

tl; dr 가장 먼저 설명한 것은 개별 고객이 제품 구매에 기꺼이 쓰는 평균 금액입니다. 두 번째는 일반인의 특정 제품에 대한 평균 수요입니다. 두 가지가 모두 같은 것이 아닌 이유를 지금 알 수 있습니다. 그것들을 그렇게 비교하면 쓰레기 정보를 얻을 수 있습니다.

편집하다

실제로 일부 제품 a, b 또는 c를 구매하는 고객이 소비 한 평균 돈에 대한 질문이있는 것 같습니다. 좋구나. 이것은 실제로 계산 오류입니다. 나는 이것을 역설이라고 부르지 않을 것이다. 정말 미묘한 보풀입니다.

열을보십시오. 열간에 공유되는 사람들이 있습니다. 적절한 가중 평균을 했다고 가정 해 봅시다 . 여전히 사람들을 두 번 추가하고 있습니다. 즉, 평균에는 2 이상의 값을 가진 추가 인원이 포함됩니다. 이제 평균은 얼마입니까? 1.6이었다! 본질적으로 평균은 다음과 같습니다.

$\frac {\sum_{i = 0}^{n} valueOfPerson_i*valueOfPerson_i} {n}$

그것은 확실히 올바른 공식이 아닙니다. 상호 배타성을 가정하지만 상황에서 실제 평균을 얻도록 조정하는 방법은 가중 평균입니다.

$\frac {\sum_{i = 0}^{n} numberOfPeopleBuying_i*averageSpentByPersonBuying_i} {n}$

어느 쪽이든 엉망 평균을 얻을 수 있습니다. 한 범주가 평균적으로 "무게"가 높기 때문에 한 가지 실수는 가중 평균의 필요성을 무시하는 것이 었습니다. 밀도와 같습니다. 하나의 가치는 사람들이 더 밀집되어 있음을 나타냅니다. 다른 문제는 중복 추가로 평균이 왜곡됩니다. 그래도이 "역설"중 하나를 부르지는 않습니다. 일단 당신이하고있는 것을 보았을 때 그것이 왜 효과가 없는지 나에게 분명해 보였습니다. 가중 평균은 필요에 따라 다소 설명이 필요합니다. 이제 값을 여러 번 추가 한 것 같습니다 ... 작동하지 않습니다. 기본적으로 값의 제곱 평균을 취했습니다.