동일한 n, k의 모든 가능한 값으로 조합의 합을 단순화

이 방정식을 단순화하는 방법이 있습니까?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{삼}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

또는 더 일반적으로

\sum_{케이 = 1}^{엔} (\binom{엔}{케이})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— IDR
소스

아이스크림 가게는 향이없는 아이스크림을 제조 한 다음 5 가지 향료 농축액 (바닐라, 초콜릿, 퍼지, 민트, 자 모카) 중 하나 이상 을 첨가 하여 매장에서 판매 할 수있는 다양한 아이스크림을 만듭니다. 따라서 다른 맛의 수는 입니다. 손으로 맛의 수를 계산하십시오. 추가 크레딧을 받으려면 상점을 식별하십시오.

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$

— Dilip Sarwate

답변:

보다

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

그것은 말한다

\sum_{케이 = 0}^{엔} (\binom{엔}{케이}) = 2^{엔}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

이항 정리 ( 사용하여이를 증명할 수 있습니다 . $x=y=1$

이제부터 임의위한 , 그 다음 $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{케이 = 1}^{엔} (\binom{엔}{케이}) = 2^{엔} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

귀하의 경우 이므로 답은 입니다. $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— 매크로
소스

감사. 나는 회귀에 대한 가능한 모든 입력 기능 세트를 찾으려고 노력했기 때문에 내 마음은 통계로 시작하지만이 질문은 통계 자체가 아니라고 생각합니다.

— Idr

문제 없어요. 도움이되었다고 생각되는 답변을 찬성하거나 수락하는 것을 고려하십시오.

— Macro

물론이야. 또한 나는 당신의 i가 k의 것이라고 생각합니다.

— Idr

당신 말이 맞아요

— 매크로

이것을 쉽게 알 수있는 방법은 다음과 같습니다. 각 요소를 취하거나 (1) 그렇지 않습니다 (0). 따라서 n 비트 : 2 ^ n으로 모든 이진수를 나타낼 수 있습니다. 그리고 이것은 하나의 항목이 제거 된 모든 조합과 2 개의 항목이 제거 된 모든 조합 등입니다 .. = C (k / N)의 합.

— Snicolas

숙제?

힌트:

이항 정리를 기억하십시오 :

(엑스 + 와이)^{엔} = \sum_{케이 = 0}^{엔} (\binom{엔}{케이}) {엑스}^{케이} {와이}^{엔 - 케이}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

$x^ky^{n-k}$

— 에릭
소스