이항의 분산을 이해하지 못합니다

나는 그런 기본적인 질문을하는 것조차도 바보처럼 느껴지지만 여기에 간다.

나는 확률 변수의 경우 값을 취할 수 과 로, 와 , 그럼 내가 그리는 경우 그것의 샘플을, 나는거야 이항 분포.$X$$0$$1$$P(X=1) = p$$P(X=0) = 1-p$$n$

분포의 평균은

$\mu = np = E(X)$

분포의 분산은

$\sigma^2 = np(1-p)$

여기 내 문제가 시작됩니다 :

분산은 됩니다. 두 가능한 결과 의 제곱은 아무것도 변경하지 않기 때문에 ( 및 ), 이는 를 의미하므로$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$$X$$0^2 = 0$$1^2 = 1$$E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

여분의 어디로 갑니까? 당신은 아마 내가 통계를 잘하지 못한다고 말할 수 있으므로 복잡한 용어를 사용하지 마십시오 : s$n$

랜덤 변수 의 값 복용 과 확률로 및 파라미터와 베르누이 확률 변수라고 . 이 임의의 변수에는 에서 크기가 랜덤 표본 이 있고 새로운 랜덤 변수 정의한다고 가정합니다. 이면 의 분포를 이항이라고하며 이의 모수는$X$$0$$1$$P(X=1)=p$$P(X=0)=1-p$$p$

$$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$$ $X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$$n$$Bernoulli(p)$$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$$Y$$n$ 과 . 이항 랜덤 변수 Y의 평균과 분산은 $p$ $$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$$

입증 과정에서 두 가지 실수 :

1 : 첫 번째 단락은과 비교하여 서로 다른 정의가 문서의 나머지 부분을.$X$$X$

2 : ~ , 조건 하에서 . 에서 작업을 시도하십시오.$X$$Bin(p, n)$$E(X^2) \ne E(X)$$E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$