라틴 정사각형에서 행, 처리 및 열이 직교라고하는 이유

나는 기하학의 영역에서 항상 "직교"를 들었습니다 (또한 영어 원어민이 아닙니다). 나는 라틴 정사각형 (교과서의 인용문)에 대해 다음을 이해하지 못합니다.

모든 치료 (ABCD)는 각 행에 한 번 나타납니다. 따라서 처리와 행은 직교합니다. ... 행과 열은 처리와 직교합니다.

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

여기서 직교성이란 무엇입니까?

그것이 의미하는 바, 혹은 라틴 스퀘어가하는 것

열 및 행 의 직교성은 그 효과가 일부 처리 (A, B, C, D)에 대한 기대 값에서 제거되고 있음을 의미합니다 .$i$$j$$k$

수식 참조 ( 교차 효과가 없는 모델의 경우 )

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

특정 수준의 (A, B, C 또는 D)에 대한 기대 는 다음과 같습니다.$k$

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

단 , 처리는 행 및 열과 상관되지 않습니다 (직교).

A (및 B, C 및 D와 유사)에 대한 처리는 각 행에서 동일한 횟수로 테스트되므로 처리 A의 기대 값에 대한 행의 영향을 제거 (평균화) 할 수 있습니다.

직교성

이것이 어원의 기원인지 확실하지 않지만 이것이 직교성으로 상상하는 것입니다.

이 예에서는 다음과 같은 테스트 (열, 행, 처리)가 있습니다.

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

이것을 행렬 으로 취하고 을 계산 하면 비 대각선 요소에서 각 항이 같은 횟수로 발생하는 곱의 합을 얻습니다.$M$$M^TM$

예를 들어 첫 번째와 세 번째 열의 $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

이 속성은 행렬에서 열의 직교성과 관련 될 수 있습니다.